Ответы на контрольные задания по теме: "Векторные поля"

Страницы работы

5 страниц (Word-файл)

Содержание работы

Векторные поля

Ответ: 1

В евклидовом пространстве (т.е. на пространстве со скалярным произведением) каждой линейной функции может быть взаимно однозначно сопоставлен вектор. В частности, если $ \alpha$-- 1-форма на евклидовом пространстве, то ей отвечает вектор $ \mathbf{a}$такой, что

$\displaystyle \alpha ( \mathbf{b})= \mathbf{a}\cdot \mathbf{b}\,,\qquad \forall \mathbf{b}\,.$

Градиентом функции $ f$называется векторное поле, которое по описанному правилу соответствует дифференциалу функции:

$\displaystyle df ( \mathbf{b})= \mathrm{grad\,}f\cdot \mathbf{b}\,, \qquad \forall \mathbf{b}\,.$

Выбирая здесь в качестве $ \mathbf{b}$базисные векторы $ \mathbf{i},\mathbf{j}, \mathbf{k}$найдем, что в декартовых координатах

$\displaystyle \mathrm{grad\,}f= \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)\,.$


Ответ: 2

Ротор векторного поля может быть определен только в трехмерном евклидовом пространстве. В декартовых координатах ротор векторного поля $ \mathbf{F}= (P,Q,R)$может быть получен по формуле

$\displaystyle \mathrm{rot } \mathbf{F}= \begin{vmatrix}\mathbf{i}& \mathbf{j}&...
...al x}, \frac{\partial Q}{\partial x}- \frac{\partial P}{ \partial y} \right) .$


Инвариантно ротор может быть описан благодаря формуле Стокса, откуда

$\displaystyle (\mathrm{rot } \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}) (M) = \lim_{\Gamma\to...
...c{\oint\limits_{\partial\Gamma} \mathbf{F}\cdot \boldsymbol{dl}}{S (\Gamma)} .$

Здесь $ \Gamma$-- кусок поверхности, стягивающийся к точке $ M$, $ S (\Gamma)$-- площадь $ \Gamma$, $ \mathbf{n}$-- единичный вектор нормали к поверхности $ \Gamma$, определяющий ее ориентацию. Таким образом, поверхностная плотность циркуляции поля по бесконечно малой окружности равна проекции ротора на нормаль к данной окружности (физический смысл ротора).

Ротор также может быть описан на языке форм. Если $ \mathcal{F}=
P dx+Q dy+R dz$-- 1-форма, отвечающая вектору $ \mathbf{F}$, то ее внешний дифференциал даст форму потока ротора:

$\displaystyle \imath_{\mathrm{rot\,} \mathbf{F}}\Omega=d \mathcal{F}\,, \qquad\Omega=dx\wedge dy\wedge dz\,,$


-- координаты $ d \mathcal{F}$в базисе $ dy\wedge dz,
dz\wedge dx, dx\wedge dy$совпадают с координатами ротора.

Ответ: 3

В декартовых координатах дивергенция векторного поля $ \mathbf{F}= (P,Q,R)$определяется как функция

$\displaystyle \mathrm{div\,} \mathbf{F}= \frac{\partial P}{\partial x}+ \frac{\partial Q}{\partial y}+ \frac{\partial R}{\partial z}\,.$


Инвариантное определение дивергенции вытекает из формулы Гаусса-Остроградского, откуда

$\displaystyle \mathrm{div\,} \mathbf{F} (M)= \lim_{\Gamma\to M}\frac{\iint\limits_{\partial\Gamma} \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,dS}{V (\Gamma)}\,.$

Здесь $ \Gamma$-- связная область с гладкой границей, стягивающаяся к точке $ M$, $ V (\Gamma)$-- объем $ \Gamma$, $ \mathbf{n}$-- единичный вектор внешней нормали к границе области $ \Gamma$. Таким образом, дивергенция это объемная плотность потока вектора через границу области (физический смысл).

Дивергенция может быть охарактеризована также на языке форм. Внутреннее

произведение вектора $ \mathbf{F}$на форму объема $ \Omega=dx\wedge
dy\wedge dz$превращает вектор $ \mathbf{F}$в 2-форму -- форму потока вектора $ \mathbf{F}$. Ее внешний дифференциал есть 3-форма, пропорциональная форме $ \Omega$. Коэффициент пропорциональности и есть дивергенция:

$\displaystyle d \imath_{\mathbf{F}}\Omega =d (P\,dy\wedge dz+Q\, dz\wedge dx+ R\,dx\wedge dy) = \mathrm{div\,} \mathbf{F}\cdot\Omega\,.$

Ответ: 4

Оператор Лапласа функции $ f$нескольких переменных определяется равенством

$\displaystyle \Delta f= \mathrm{div\,grad\,}f\,.$


В декартовых координатах в случае функции трех переменных

$\displaystyle \mathrm{grad\,}f= \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\pa...
... P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+ \frac{\partial R}{\partial z}\,,$

откуда

$\displaystyle \Delta f= \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+ \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}+ \frac{\partial^{2}f}{ \partial z^{2}}\,.$

Ответ: 5

Оператор Гамильтона набла $ \nabla$является векторнозначным дифференциальным оператором вида

$\displaystyle \nabla= \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial }{\partial z} \right)\,.$

Он определен только для случая декартовых координат, но в этом случае представляет удобную символическую технику вычисления. Например, стандартные операции векторного анализа при помощи набла запишутся в виде

$\displaystyle \mathrm{grad\,}f$

$\displaystyle = \nabla f\,,$

$\displaystyle \mathrm{div\,} \mathbf{F}$

$\displaystyle = \nabla\cdot \mathbf{F}\,,$

$\displaystyle \mathrm{rot\,} \mathbf{F}$

$\displaystyle = \nabla\times \mathbf{F}\,,$

$\displaystyle \Delta f$

$\displaystyle = \nabla^{2}f\,,$

$\displaystyle \mathrm{div\,rot\,} \mathbf{F}$

$\displaystyle = \nabla\cdot(\nabla\times \mathbf{F})=0\,,$

$\displaystyle \mathrm{rot\,grad\,}f$

$\displaystyle = \nabla\times\nabla f= \mathbf{0}\,.$

Для удобства вычислений играет важную роль тот факт, что как всякое дифференцирование оператор набла подчиняется правилу Лейбница дифференцирования произведений. Например,

$\displaystyle \mathrm{div\,} (f \mathbf{F})=\nabla \cdot(f \mathbf{F})= \nabla ...
...ot \mathbf{F}= \mathrm{grad\,}f\cdot \mathbf{F}+ f \mathrm{div\,} \mathbf{F}\,.$


Ответ: 6

Если функция $ \Theta$определяет замену переменных $ \mathbf{x}=\Theta (\mathbf{u})$в пространстве, то векторы-столбцы матрицы Якоби $ \Theta'$:

$\displaystyle \frac{\partial \Theta}{\partial u_{1}}\,,\ldots \frac{\partial \Theta}{\partial u_{n}}\,,$

имеют смысл скоростей координатных кривых (в пространстве $ \mathbf{x}$-ов) криволинейных координат $ \mathbf{u}=(u_{1},\ldots u_{n})$. Если эти векторы (в каждой точке) ортогональны между собой, то криволинейные координаты $ (u_{1},\ldots u_{n})$называются ортогональными. В этом случае длины упомянутых векторов-скоростей называются коэффициентами Ламе:

$\displaystyle h_{i}= \left\vert \frac{\partial \Theta}{\partial u_{i}} \right\v...
...ight)^{2}+ \ldots +\left( \frac{\partial x_{n}}{\partial u_{i}}\right)^{2}} \,.$


В частности,

$\displaystyle \vert\det\Theta'\vert=h_{1}\cdot\ldots\cdot h_{n}\,.$

В случае сферической системы координат

$\displaystyle x=r\cos\varphi\sin\theta\,,\quad y=r\sin\varphi\sin\theta\,,\quad z=r\cos\theta\,,$

откуда

$\displaystyle h_{r}$

$\displaystyle =\vert (cos\varphi\sin\theta,\sin\varphi\sin\theta,\cos\theta)\vert=1\,,$

$\displaystyle h_{\theta}$

$\displaystyle =\vert (r\cos\varphi\cos\theta,r\sin\varphi\cos\theta, -r\sin\theta)\vert=r\,,$

$\displaystyle h_{\varphi}$

$\displaystyle =\vert (-r\sin\varphi\sin\theta,r\cos\varphi\sin\theta,0)\vert =r\sin\theta\,.$


Ответ: 7

Пусть отображение $ \theta$определяет замену переменных $ (x_{1},x_{2},x_{3}) =\theta (u_{1},u_{2},u_{3})$и криволинейные координаты $ (u_{1},u_{2}, u_{3})$ортогональны. Обозначим коэффициенты Ламе через $ h_{i}$:

$\displaystyle h_{i}= \left\vert \frac{\partial \theta}{\partial u_{i}}\right\vert .$


Векторы

$\displaystyle \mathbf{s}_{i}=\frac{1}{h_{i}}\, \frac{\partial \theta}{\partial u_{i}}\,,\qquad i=1,2,3,$


образуют (в каждой точке) ортонормированный базис. Дуальные к ним базисные формы будут $ \sigma_{i}=h_{i} du_{i}$. Поэтому

$\displaystyle df (\mathbf{u})=\sum \frac{\partial f}{\partial u_{i}} du_{i}= \...
...,}f=\sum \frac{1}{h_{i}} \frac{\partial f}{\partial u_{i}}  \mathbf{s}_{i} .$


Далее, $ \Omega=\sigma_{1}\wedge\sigma_{2} \wedge\sigma_{3}=
h_{1}h_{2} h_{3}\,du_{1}\wedge du_{2} \wedge du_{3}$и $ \imath_{\mathbf{F}}\Omega=F_{1}\,\sigma_{2}\wedge\sigma_{3}+
F_{2}\,\sigma_{3}\wedge\sigma_{1}+F_{3}\,
\sigma_{1}\wedge\sigma_{2}$, откуда

$\displaystyle d (\imath_{\mathbf{F}}\Omega)=\left(\frac{\partial ( F_{1} h_{2}h...
...ght)\,du_{1}\wedge du_{2} \wedge du_{3}=\mathrm{div\,} \mathbf{F}\cdot\Omega\,,$

следовательно,

$\displaystyle \mathrm{div\,} \mathbf{F}= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \sum \frac{\partial }{\partial u_{i}} \left( \frac{h_{1}h_{2} h_{3}}{h_{i}} F_{i}\right)$

и, в силу $ \Delta f= \mathrm{div grad }f$,

$\displaystyle \Delta f=\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \sum \frac{\partial }{\partial...
...frac{h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{i}^{2}} \, \frac{\partial f}{\partial u_{i}}\right)\,.$

Ответ: 8

Поле $ \mathbf{F}$называется потенциальным, если его ротор равен нулю: $ \mathrm{rot\,} \mathbf{F}= \mathbf{0}$. Например, поле градиента является потенциальным: $ \mathrm{rot\,grad\,}f= \mathbf{0}$. Локально верно и обратное, при этом функция $ f$называется потенциалом поля $ \mathbf{F}$, если $ \mathbf{F}= \mathrm{grad\,}f$. Потенциал определен неоднозначно.

Если $ \mathcal{F}$-- 1-форма, соответствующая полю $ \mathbf{F}$(т.е. $ \mathcal{F}=P\,dx+Q\,dy+R\,dz$при условии, что $ \mathbf{F}= (P,Q,R)$), то потенциальность поля $ \mathbf{F}$эквивалентна замкнутости формы $ \mathcal{F}$: $ d \mathcal{F}=0$. Замкнутые формы локально точны (т.е. являются дифференциалами функций) и их потенциал в окрестности произвольной точки $ (x_{0},y_{0},z_{0})$из области определения можно найти по формуле

$\displaystyle f (x,y,z)= \int\limits_{(x_{0},y_{0},z_{0})}^{(x,y,z)} \mathcal{F}\,,$


где путь, соединяющий точки, можно выбирать произвольно в окрестности рассматриваемой точки. Функция $ f$будет одновременно являться потенциалом поля $ \mathbf{F}$(в окрестности рассматриваемой точки).

Ответ: 9

Поле $ \mathbf{F}$называется соленоидальным, если его дивергенция равна нулю: $ \mathrm{div\,} \mathbf{F}=0$. Поле ротора является соленоидальным: $ \mathrm{div\,rot\,}
\mathbf{G}=0$. Локально верно и обратное, при этом, если $ \mathbf{F}= \mathrm{rot\,} \mathbf{G}
$, поле $ \mathbf{G}$называется векторным потенциалом поля $ \mathbf{F}$. Потенциал определен неоднозначно.

Пусть $ \Omega=dx\wedge dy\wedge dz$-- стандартная форма объема пространства. Она позволяет полю $ \mathbf{F}$поставить в соответствие 2-форму потока этого поля:

$\displaystyle \varphi=\imath_{\mathbf{F}}\Omega=P\,dy\wedge dz+ Q\,dz\wedge dx+ R\,dx\wedge dy\,,$


где $ \mathbf{F}= (P,Q,R)$. Соленоидальность поля $ \mathbf{F}$эквивалентна замкнутости формы $ \varphi$: $ d\varphi=0$. Замкнутая форма локально точна, т.е. в окрестности произвольной точки из области определения является дифференциалом 1-формы, называемой ее потенциалом: $ \varphi=d\gamma$. 1-форма $ \gamma$может быть восстановлена по формуле Пуанкаре. В окрестности нуля она имеет вид

$\displaystyle \gamma$

$\displaystyle = \int\limits_{0}^{1}dt\,t [P (tx,ty,tz) (y\,dz-z\,dy)+Q (tx,ty,tz) (z\,dx- x\,dz)+R (tx,ty,tz) (x\,dy-y\,dx)]$

$\displaystyle = \int\limits_{0}^{1}dt \begin{vmatrix}dx& dy & dz\\ P (tx,ty,tz)& Q (tx,ty,tz)& R (tx,ty,tz)\\ tx& ty& tz \end{vmatrix} \,.$

Векторное поле $ \mathbf{G}$, отвечающее 1-форме $ \gamma$при замене базиса $ (dx,dy,dz)$базисом $ (\mathbf{i}, \mathbf{j},
\mathbf{k})$, и будет являться векторным потенциалом поля $ \mathbf{F}$. В окрестности нуля

$\displaystyle \mathbf{G} (x,y,z)= \int\limits_{0}^{1}\, \mathbf{F} (t \mathbf{r})\times t\mathbf{r}\,dt\,,\qquad \mathbf{r}= (x,y,z)\,.$

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Контрольные работы
Размер файла:
204 Kb
Скачали:
0