Материальные соотношения в электродинамике. Временная и пространственная дисперсии в линейной электродинамике. Материальные соотношения для гармонических составляющих плоских волн

3.Материальные соотношения. Материальные соотношения в электродинамике. Временная и пространственная дисперсии в линейной электродинамике. Материальные соотношения для гармонических составляющих плоских волн  и  в однородных стационарных средах. Энергетические соотношения для электромагнитного поля.

3.1. Материальные соотношения в электродинамике. Временная и пространственная дисперсии в линейной электродинамике. В том случае, когда описываются поля в вакууме, система уравнений Максвелла является замкнутой: число уравнений равно числу неизвестных функций. Заданное распределение сторонних токов и зарядов позволяет однозначно найти поля  и . Система уравнений линейна, поля не зависят от амплитуды источника. Скорость распространения полей постоянна и равна скорости света в вакууме

            В материальных средах уравнения Максвелла не замкнуты, число уравнений меньше, чем число неизвестных функций. Сами уравнения Максвелла линейны, но дополнительные уравнения (материальные соотношения) могут быть нелинейными. Только при описании волн малой амплитуды можно пользоваться линейным приближением таких материальных соотношений, пренебрегая влиянием нелинейных эффектов. Для замыкания системы уравнений Максвелла необходимо иметь дополнительные материальные соотношения

                                                                  (3.1)

В электродинамике соотношения (3.1) вводятся на основе уравнений сплошной среды (уравнений динамики). В общем случае соотношения (3.1) являются нелинейными. В данном курсе лекций рассмотрение будет ограничено в основном линейным приближением (приближение линейной электродинамики), хотя ряд задач будет рассмотрен с учетом нелинейности.

Вектор намагничивания  и вектор поляризации  связаны с полями  линейными соотношениями

Для материальных сред, за исключением ферромагнетиков и ферритов, допустимо пренебрежение влиянием вектора намагничивания: .

            Самый общий вид связи между полями  и  в линейной электродинамике имеет интегральный характер, учитывающий суперпозицию всех временных (до момента наблюдения ) и пространственных влияний поля  на поле  в точке наблюдения  в момент времени

                        ,                                 (3.2)

где  - тензор, учитывающий анизотропные свойства среды. Если среда изотропная, то компоненты тензора имеют вид  , где  - символ Кронекера,  - скалярная функция. Отсутствие интегрирования в (3.2) в области  учитывает принцип причинности: будущее не оказывает влияние на настоящее. Интегрирование по пространственным переменным учитывает то, что на индукцию  в точке влияет распределение поля  во всем пространстве и свойства среды во всем пространстве. Такое свойство материальной среды называется пространственной дисперсией, этот термин введен М.Е. Герценштейном в 1952 г.  Одной из возможных причин пространственной дисперсии является процесс хаотического, теплового переноса заряженных частиц и наводимых ими полей из удаленных точек пространства в окрестность точки наблюдения

 Получим условие слабого проявления пространственной дисперсии. Если  - тепловая скорость заряженных частиц, временной масштаб изменения поля во времени , среднее расстояние проходимое этими частицами за это время оценивается в виде .  Фурье образы поля имеют вид . Пусть поле распространяется с фазовой скоростью . Тепловое движение зарядов будет приводить к изменению фазового набега волны за период на величину , где  - волновое число. Влияние пространственной дисперсии за счет теплового движения зарядов среды будет пренебрежимо мало при условии малости фазового набега:

Если среда пространственно однородна, то имеет место влияние свойств среды в зависимости от расстояния от точки наблюдения: . Если пространственная дисперсия слабая, то компоненты тензора  имеют резкий максимум в окрестности точки наблюдения . Предельная ситуация отсутствия пространственной дисперсии соответствует  - образной зависимости: , в этом случае имеет место свойство пространственной локальной связи векторов  и :

                                    ,

поле  зависит от поля  и зависит от свойств среды только в точке наблюдения.

            Интегрирование в (3.2) по времени от значения  до момента наблюдения , учитывает влияние на индукцию  всего предшествующего распределения во времени поля . Это интегрирование учитывает свойства материальной среды на промежутке времени от  до . Такое свойство среды называется временной дисперсией (иногда это свойство называют частотной дисперсией). Если свойства среды неизменны (однородны, стационарны) во времени, то компоненты тензора  зависят только от . Отсутствие временной дисперсии соответствует представлению . Одновременное отсутствие и временной и пространственной дисперсии приводит к локальной связи .