Магнитостатическое поле и векторный потенциал, страница 4

9.4. Интегральная форма уравнений магнитостатики вакуума.

              Как и в электростатике помимо дифференциальных соотношений для магнитного поля B существуют их интегральные аналоги. Очевидно, что интегральным аналогом соотношения (9.9) является утверждение о равенстве нулю потока вектора B через замкнутую поверхность произвольной формы (9.20).

Для получения интегрального аналога второго уравнения достаточно разбить поверхность, ограниченную контуром Г₁, на небольшие прямоугольные ячейки и рассчитать циркуляцию вектора B по каждой из них. Для удобства расчета для каждой ячейки удобно использовать свою систему координат, выбранную так, чтобы ее контур лежал в плоскости Z=0(9.21). При суммировании таким образом рассчитанных циркуляций по всем элементарным ячейкам, вклады от интегралов по общим сторонам соседних ячеек взаимно уничтожаются. В результате остается лишь интеграл по внешнему контуру. С другой стороны, суммирование токов, пронизывающих элементарные ячейки, дает полный ток через контур. Как и следовало ожидать, исходя из аналогий с электростатикой, получающееся выражение для циркуляции имеет вид (9.22).

              Как и в случае электростатики, интегральные теоремы для поля позволяют легко рассчитывать величину вектора B для симметричных распределений токов, допускающих априорный анализ конфигурации поля из соображений симметрии.

Пример 9.4.    Магнитное поле бесконечного цилиндрического провода с током, протекающим по его поверхности

Найти величину и направление вектора В поля, создаваемого постоянным током I, протекающим вдоль бесконечного цилиндрического провода радиусом R и равномерно распределенным по его поверхности. Определить силу, действующую со стороны этого цилиндра на единицу длины бесконечного прямого провода с током I, расположенного на расстоянии l>R от оси цилиндра.

Решение:  

Магнитное поле должно обладать той же симметрией, что и источники, т.е. должно оставаться неизменным при вращениях вокруг оси цилиндра и при произвольных смещениях вдоль его оси. Из трех мыслимых конфигураций, обладающих указанной симметрией (рис. 9.2) отвечает реальности только последняя. Первая не соответствует вихревому характеру магнитного поля (9.20), вторая - согласуется с уравнением для циркуляции лишь в случае B(r)=const для произвольной точки пространства. Существование такого постоянного во всем мировом пространстве поля (не только магнитного, но и электрического) в принципе допускается уравнениями электродинамики, но традиционно исключается из рассмотрения, как не наблюдаемое на эксперименте. Для вычисления величины вектора B в оставшейся конфигурации достаточно воспользоваться интегральной теоремой о циркуляции (9.22), что немедленно приводит к  результату (9.23), аналогичному решению соответствующей электростатической задачи.

                    Для вычисления силы, действующей на отрезок длиной h параллельного цилиндру провода c током I достаточно воспользоваться ранее выведенным выражением для силы Ампера (8.16). Полученное окончательное выражение (9.24) используется для определения единицы силы тока в системе единиц СИ, на основе которой, в свою очередь, вводится единица величины электрического заряда 1Кл.