Лавинный механизм в сильном электрическом поле, страница 9

                       

Здесь α – коэффициент ионизации, a – коэффициент прилипания. Все нарождающиеся электроны летят к аноду одной rруппой со скоростью дрейфа V_d=μ_eE₀. Однако вследствие диффузии электронное облако расплывается около центральной точки x₀=V_дt. Плот­ность электронов в облаке n_e(x, r, t) подчиняется общему ypaвнению диффузииНернста-Планка, в котором должны быть приняты во внимание дрейфовое движение, рождение и гибель электронов.

                                       (17)

q₊ - число родившихся (вследствие ионизации) электронов на единицу объема в единицу времени, q_- - число погибших (вследствие рекомбинации и прилипания) электронов на единицу объема в единицу времени.

Рассмотрим начальный этап развития лавины, когда концентрация электронов невелика и рекомбинацией можно пренебречь. В этом случае, как отмечено выше, можно использовать коэффициенты ионизации и прилипания, и уравнение (17) удастся решить аналитически. Через коэффициенты ионизации и прилипания выражаем число родившихся и погибших электронов в единице объема:

                                             

Уравнение (17) преобразуется к виду:

                          

Задача имеет цилиндрическую симметрию, от угловой координаты величины не зависят. Операторы дивергенции и градиента имеют в этом случае вид:

                                                  

Учитывая эти формулы, можно переписать дивергенцию первого слагаемого:

                                                                                                       (18)

Сделаем замену переменной – введем вместо старой продольной координаты x новую координату ξ, по следующей формуле:

                                                               

Новые координаты – ξ, r, t (время входит как равноправная координата!). Вспомним формулы перехода от старого набора координат a₁,a₂,…,a_n к новому b₁,b₂,…,b_n. Частные производные в старых координатах заменяются на частные производные в новых координатах по правилу:

                                                           

В нашем случае частная производная по радиальной координате остается без изменений, частная производная по x:

                                         

Частная производная по t меняет вид:

  

Запишем теперь (18) в новых координатах:

Второе и третье слагаемые сократились, и мы получаем:

                                                                                                    (19)

Теперь сделаем еще одну замену. Вместо концентрации электронов n_e(ξ,r,t) введем новую неизвестную ñ_e:

                                                                  (20)

Подставляя (20) в (19), мы получаем:

Видно, что если взять β=(α-a)μ_eE, второе и последнее слагаемое сокращаются. И мы получаем уравнение:

                                              (21)

Это уже обычное уравнение диффузии, оно имеет решение:

                                    

Возвращаясь к исходным переменным, мы получаем решение исходного уравнения (18):

Решение уравнения и­меет вид:

                                                                          (2213)

Плотность n_e падает с расстоянием от движущегося центра по гауссову закону. Радиус сферы, на которой плотность ровно в e раз меньше, чем плотность в центре n_е(х₀,0,t), растет с течением времени (или по мере продвижения лавины) по характерному для диффузии закону:

                                               

За время пролета лавины до анода ионы практически не успевают сдвинуться с места. Поэтому в каждом месте они накапли­ваются. Плотность положительных ионов составляет:

                                               

Чтобы получить n­_-, нужно α заменить на а. Функция n_e в интеграле задается формулой (2213). В отсутствие прилипания в пре­деле t→∞ и не слишком далеко от оси приближенное вычисление интеграла дает: