Квазистационарные явления в электродинамике. Потенциалы, описывающие квазистационарные поля. Теория цепей, как частный случай квазистационарного приближения

9. Квазистационарные явления. Квазистационарные явления в электродинамике. Потенциалы, описывающие квазистационарные поля. Теория цепей..  - теорема теории размерности. Диффузия электрического поля. Отсутствие эффекта запаздывания в квазистационарных полях. Скин-эффект Униполярная индукция. Движение проводника в магнитном поле. Закон Ома для движущегося проводника. Возбуждение тока ускорением Электромагнитные волны в линиях передачи. Телеграфные уравнения. Гармонический процесс в длинной линии.

9.1. Квазистационарные явления в электродинамике. Потенциалы, описывающие квазистационарные поля. Задачи электродинамики в сплошных материальных средах описываются замкнутой системой уравнений: уравнениями Максвелла совместно с уравнениями материальных связей. Система уравнений Максвелла это линейная система дифференциальных уравнений (имеется в виду описание непрерывных полей) в частных производных. Возможно использование этой системы в различных формах, например, для неизвестных функций :

,                                      (9.1)

                                                ,                      (9.2)

,                                            (9.3)

,                              (9.4)

.                                    (9.5)

Сейчас будем использовать материальные соотношения в простейшем виде. Считаем, что они представляют собой линейные локальные связи (сделано пренебрежение влиянием пространственной и временной дисперсиями)

                                                .

В предыдущих разделах анализировались свойства статических полей, не зависящих от времени. Учет такой зависимости приводит к значительному усложнению решения задач электродинамики. Однако, имеется круг проблем, когда допустимо использовать приближенный учет влияния зависимости полей от времени. Одно из таких приближений (квазистационарное приближение) основано на пренебрежении зависимостью вектора индукции  от времени в уравнении (9.2) . Это приближение основано на пренебрежении токами смещения по сравнению с токами проводимости

                                                .                       (9.6)

Для гармонического поля  условие (9.6) с учетом приведенных простейших материальных соотношений запишется в виде ограничения на частоту сверху

                                                .                                                         (9.7)

В том случае, если поля не гармонические, то в условии (9.7) следует заменить  на , где  - характерный временной масштаб изменения полей во времени. Приведем оценку частот, удовлетворяющих условию (9.7) для почв и для металлов. Для почв , для меди , относительная диэлектрическая проницаемость их , так что . Условие (9.7) дает ограничения

                                     для почв,

                                     для меди.

Как будет видно из дальнейшего исследования, квазистационарное приближение соответствует пренебрежению эффектом запаздывания при распространении электромагнитных волн в среде.

            Ниже ограничимся случаем , и будем иметь квазистационарное описание полей

                                                ,                                               (9.8)

                                                ,                                            (9.9)

,                                                       (9.10)

,                                        (9.11)

Равенство (9.10) позволяет ввести векторный потенциал

                                                .                                             (9.12)

Из уравнения (9.8) получаем представление для электрического поля

,

где  произвольная функция.

Уравнение (9.11) приводится к виду

                                    ,   .           (9.13)

Потенциал  произвольный, его выберем так, чтобы имело место уравнение электростатики

Согласно (9.13), это порождает калибровку Кулона:

                                                .                                                        (9.14)

Уравнение (9.9) при учете представления , принимает вид

                                                .                                       (9.15)

Это соотношение дает связь между двумя неизвестными функциями  и .

Рассмотрим частный случай описания квазистационарного процесса в ситуации: :

                                                ,

так как  то при  имеем  при . Из уравнения

                                               

следует , т.е. свободные и сторонние заряды компенсируют друг друга. Из уравнения непрерывности  при  следует:  не зависит от времени. Так как , значит и  не зависит от времени в такой ситуаци.