Геометрическая оптика. Учет влияния дифракционных эффектов, страница 8

Будем считать, что экран совпадает с нижней полуплоскостью  (Рис.11.16), так что ось  направлена по краю экрана. Ось  ортогональна поверхности экрана и на этой

оси на расстоянии  находится источник (слева от начала координат). Координаты точки наблюдения равны . Тогда координаты элемента  равны  и ,. Наиболее существенны только близкие к точке  участки , поэтому возможны упрощения на основе малости величин  по сравнению с

                        .

Учитывая, что , получим

                        .            .

Верхний предел интегрирования взят равным , так как область больших  не дает существенного вклада в результат интегрирования. Воспользуемся представлением

б

                                    ,

где

                                                .

Результат преобразования имеет вид

.           (11.8)

Последний интеграл называется интегралом Френеля. Так как , то .

В случае  точка наблюдения лежит в области тени, интегрирование в (11.8) происходит в области выполнения неравенства . Имеет место приближенная формула

                                    .

При  точка наблюдения лежит в освещенной области, интегрирование в (11.8) частично происходит в области, где нарушается неравенство  (это область в окрестности ). Сделаем следующее преобразование .

Квадрат модуля интеграла Френеля определяет интенсивность  электромагнитной волны. График зависимости  ( интенсивность вдали от экрана) изображен на Рис.11.17. Вблизи экрана интенсивность в четыре раза меньше . Если двигаться в освещенную область, то интенсивность увеличивается и становится в максимуме порядка , далее начинаются осцилляции и приближение интенсивности к значению .

11.16. Дифракция Фраунгофера. Найдем теперь поле дифрагировашей электромагнитной волны в случае, когда источник  и точка наблюдения удалены на бесконечность (Рис.11.18). Будем по-прежнему использовать принцип Гюйгенса, взяв за поверхность  плоскость, закрывающую отверстие. Точка  находящаяся на  будет началом координат, радиус вектор  направлен из точки  в элемент . Падающее поле в точке  поверхности  представим в виде . Точка наблюдения  находится далеко от отверстия экрана, поэтому направление дифрагирующего луча совпадает с направлением  радиус-вектора  этой точки. Волновой вектор дифрагировавшего поля  направлен по .  - радиус вектор, направленный из элемента  в точку наблюдения, причем  и .

Следовательно, . На основе принципа Гюйгенса имеем поле в точке наблюдения

                                                ,

 - угол падения луча на площадку , .

В отличие от дифракции Френеля, в которой был существенен вклад лишь небольшого участка поверхности , при дифракции Фраунгофера существенна вся эта поверхность.

            В качестве примера рассмотрим дифракцию на бесконечно длинной щели с параллельными границами в непрозрачном экране (Рис.11.19). Пусть волновой вектор падающей волны ортогонален к плоскости экрана . Угол дифракции  - это угол между векторами  и . Ширина щели , поэтому имеем

                        ,

где учтено, что , . Интенсивность дифрагировавшей в интервал углов  волны пропорциональна :

                                                .

Найдем коэффициент пропорциональности, используя представление для суммарной интенсивности волны, падающей на щель

                                                .

Зависимость интенсивности дифрагировавшего луча от угла дифракции показана на Рис.11.20, где введено обозначение . Интенсивность имеет ряд быстро убывающих максимумов, разделенных минимумами при , в которых она обращается в нуль. Установив положение минимумов (или максимумов) можно определит длину волны. Точность такого определения длины волны по дифракции на одной щели невелика из-за слабой резкости. Точность можно повысить, используя дифракционную решетку (совокупность одинаковых параллельных щелей, расположенных на равном расстоянии друг от друга).