Геометрическая оптика. Учет влияния дифракционных эффектов, страница 3

При расчете фазового набега  интегрирование должно производиться по всей траектории луча, поэтому для луча, претерпевшего поворот, будем иметь

            .

            3). Поле распространяется с фазовой скоростью . Поэтому элемент времени  связан с элементом  - элемент длины луча соотношением

                                                .

Значит, время , затрачиваемое волной, чтобы пройти путь между двумя точками  и  на одном луче, определяется интегралом

                                                .

Как отмечалось выше, могут быть несколько лучей соединяющих точки  и . Здесь речь будет идти о ситуации, когда имеется один луч, соединяющий точки  и . Так как , то имеем представление для оптической длины луча . Это соотношение можно представить в эквивалентной форме

                                                            ,   ,            .

Оптическую длину можно ввести не только для реального луча, но и для произвольной кривой , соединяющей точки  и :

                                                ,

где  - элемент длины кривой . Оптическая длина луча может быть найдена по формуле

,            .

где  - угол между элементом пути вдоль луча и элементом пути вдоль кривой .По этой причине имеет место Принцип Ферма, который утверждает, что оптическая длина реального луча меньше оптической длины любой другой кривой, соединяющей те же точки. При этом волна распространяется таким образом, чтобы время ее распространения было минимальным. Получается это, так как имеет место параллельность векторов , т.е. вектор  ортогонален поверхности равной фазы . Поэтому

Согласно принципу Ферма вдоль реального луча укладывается  минимальное (по сравнению с любой другой кривой, соединяющей те же точки) число длин волн. Это обеспечивает положительную интерференцию, или главный максимум на реальном луче.

4). Для одного луча, заданного уравнением , точка поворота (в нашей задаче это точка наибольшего или наименьшего «подъема луча») находится из решения уравнения . Геометрическое место точек поворота лучей, в зависимости от угла выхода , определяется системой двух уравнений

                                                .

            5). Искривление лучей в неоднородной среде может привести к возникновению огибающей семейства лучей (каустики). Каустика разделяет области пространства с различным числом лучей в этих областях (Рис.11.3). Каустика, в частности, отделяет часть пространства, заполненную лучами, от каустической тени (области не содержащей лучи). Уравнение описывает однопараметрическое семейство линий ( - параметр), поэтому положение каустики определяется системой двух уравнений

                                                   .

При отсутствии огибающей семейства лучей (каустики) два луча уходящие из источника под близкими углами, по мере распространения будут удаляться друг от друга. При наличии огибающей, в ее окрестности лучи будут приближаться друг к другу, если они вышли из источника под близкими углами. На каустике происходит сближение лучей (фокусировка). В окрестности каустики поле локально не плоское. Здесь нарушается приближение геометрической оптики.

            6). Выясним свойства амплитуды . Для этого рассмотрим волновую поверхность равной фазы  и выделим на ней малую площадку , которая пронизывается соответствующим пучком лучей. Проведем эти лучи до пересечения с другой волновой поверхностью , на которой пучок лучей выделит площадку .Объем пространства, занимаемый проходящими через площадки  и лучами, называется лучевой трубкой. Займемся определением медленно изменяющейся амплитудной функцией , удовлетворяющей уравнению переноса (второе уравнение системы (11.2))

                                    ,