Формирование матрицы инерции элементов составных элементов повышенной точности методом редукции. Решение системы линейных уравнений, страница 2

Элемент для  составления  матрицы индексов.

-  линейные   функции формы

То   есть  составлена   матрица  жесткости  элемента   и  вектор  нагрузок  ,

Тогда будет записываться  в виде :

  ;     ( 1)

          18*18                              18*1             18*1

           

требуется  исключить  17  и  18  -ое уравнения .

 матрицу  жесткости  [K]  представляем  в виде  матрицы   ;

вектор  нагрузок  :  ;

перемещение  :;

где   ;     ;

                                               16*16                                                                16*2                              

  

                            2*2                    

   Решаем  уравнение  (1)  :

                        

                                             18*1    18*18      18*1

(1а)        ;

получаем  :

                                 16*16 16*2  2*16    2*2

(а)                

             16*16 16*1        16*2

(в)            

                2*16    16*1      2*2    2*1            2*1

из выражения (в) получаем:

    2*2  2*1                        2*1                2*16   16*1

(с)        ;

                     2*1               2*2         2*1                                               2*2         2*1           2*2       2*16  16*1

подставляем  выражение  (с)  в выражение  (а)  и получаем  (d)  :

 ;

16*16 16*1      16*2  2*2      2*1         2*2      2*16  16*1             16*1

 ;

   16*16  16*1           16*2 2*2         2*16   16*1                16*1        16*2  2*2          2*1

  ;

                                                       16*1         16*1

обозначаем    ;

                                       16*16

или можем  записать  :

                          (2)    ;  

 16*16   16*1          16*1                

где    ;

Уравнение  (2)  не  содержит  внутренних степеней  свободы  .

    находится  из уравнения  (в)  :

   .

   2*1          2*2         2*1          2*16  16*1

  Представленное  преобразование  является  методом  конденсации  (методом  редукции , так  как  количество  неизвестных  уравнений  понижается  ) .

  Недостатками  этого  приема  является  :

1)  Получение  системы  уравнений  с  полнозаполненной  матрицей  коэффициентов  ЛАУ .

Решать  такую  систему  необходимо  методами  или  подпрограммами

GELB  ,  то  есть  подходящими  для  общего  вида  ;

2)  Необходимо   выполнить  обращение  выделенного  фрагмента  матрицы  жесткости     и  выполнять  много  умножений  и  транспонирований  , то есть  требуются  специальная  программа  мат . обеспечений .

Вывод.  Очевидно , что  решение  больших  систем  уравнений  оправдано  при  использовании  данного  подхода  к  стационарным  процессам  ,  тем не менее  этот  подход  используется  с  80-ых  годов  в методах  расчета  динамики  конструкции.

РЕШИТЬ ПРИМЕР !

3.2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ЛЕНТОЧНОЙ МАТРИЦЕЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Подпрограмма GELB с обычной (DGELB с удвоенной) точностью. Подпрограмма предназначена для решения системы уравнений вида

АХ= R,

где А — ленточная матрица коэффициентов порядка M; R — матрица правых частей системы уравнений размером М  N. Система уравнений решается методом исключения Гаусса с выбором главного элемента в столбце, что сохраняет ленточную структуру матрицы в процессе преобразований. Если в качестве R задается единичная матрица, то решение Х будет обратной к А матрицей.

Обращение к подпрограммам имеет соответственно вид:

САLL  GELВ (R, А, М, N, MUD, MLD, EPS, IER)

CALL DGELB (R, А, М, N, MUD, MLD, EPS, IER)

А — массив длиной МА, первые МЕ элементов которого содержат исходную матрицу коэффициентов, расположенную по строкам. Предполагается, что в памяти хранятся только элементы главной диагонали, а также элементы MUD верхних и MLD нижних кодиагоналей (точность обычная или удвоенная):

МА = М* МС — (МС — MLD — 1) (МС — MLD)/2

МЕ = МА — (МС — MUD — 1) (МС — MUD) /2

МС = min (М, MUD + М1 0+ 1);

MUD — число верхних кодиагоналей, т. е. кодиагоналей выше главной диагонали;

MLD — число нижних кодиагоналей, т. е. кодиагоналей ниже главной диагонали;

IER — индикатор ошибки, принимающий следующие значения:

IER =0 свидетельствует, что в процессе работы подпрограммы ошибок не было;

IER = — 1 означает, что либо нарушены ограничения MUD 0, MLD  О, МUD + MLD2M — 2, либо главный элемент на каком-то шаге исключения равен  нулю;

IER = К указывает на потерю точности.

В, М, N, EPS — параметры, имеющие тот же смысл, что и одноименные параметры подпрограмм GELG (DGELG) .

C

C     ..................................................................

C

C        SUBROUTINE GELB