Формирование матрицы инерции элементов составных элементов повышенной точности методом редукции. Решение системы линейных уравнений

Страницы работы

Содержание работы

3.1. Формирование матрицы инерции элементов составных

элементов повышенной точности методом редукции

Формирование матрицы жесткости  составных элементов является аналогичным формированию матрицы инерции, поэтому для примера рассмотрим  формирование матрицы жесткости элементов составных элементов повышенной точности методом редукции.

Во многих случаях использование линейных элементов не дает требуемой точности. В этом случае уменьшение погрешности вычислений можно выполнить с помощью применения составных элементов повышенной точности, например, дана плоская задача, в которой использование квадратичного элемента вида I можно заменить использованием совокупности линейных элементов вида II.


1 – 8 , 9 – номера  узлов


-номера  элементов  узлов  треугольного  линейного  элемента

.

I вид представляет собой изопараметрический квадратичный элемент сирендипова семейства функций.

II вид элементов относится к семейству Лагранжа, но только в том случае, если у него будет такая нумерация, что в середине находится узел.

Считается, что использование элементов Лагранжа более точно, однако недостатком элемента является наличие узла 9, исключение которого приведет к образованию сирендипова элемента.

Элемент II вида может быть преобразован к элементу I вида методом исключения центрального, то есть узла 9.

Рассмотрим методику редукции, которая применяется для выполнения этой задачи. Эта же методика используется для получения суперэлемента (сверх крупных элементов).

Методы суперэлементного формирования используется в конструкциях, состоящих из элементов сложной геометрической формы, то есть получается, что  характер  решения таких задач требует поэтапного решения:

1)  В  начале  составляется  конечно-элементная  сетка  для  каждого  отдельного  фрагмента или детали  конструкции  ;

2)  На  втором  этапе составляется  схема  соединений  этих  деталей  в  виде матрицы  индексов;

3)   Принципиально, если позволяет  объем  памяти  ЭВМ,  задача  решается  как  обычно, то есть формируется матрица жесткости, составляется  уравнение  и  решается  ;

4)   Во многих случаях приходится получаемое  уравнение сокращать,  что

приводит  к  необходимости  его   модификации . Модификация  исходной  большой  системы  к  незначительной  системе  n  называется  редукцией  .

 Рассмотрим  этот метод  для  составного  элемента  вида  II , преобразуя 

его  к  виду  I  .

 Так как   метод  редукции ( конденсации ) предполагает  работу  с системой 

уравнений   ,то  будем  считать  , что  на  границах  этого  элемента  имеется  нагрузка  ,  задаваемая  вектором   {P} , тогда  уравнение  редукции  можно 

представить  для  статической  задачи  механики  в  виде 

2Nu*2Nu  2Nu*1   2Nu*1

Это линейное алгебраическое уравнение, где Nu – количество узлов. Так как это плоская задача , то берется 2.

 Составим  матрицу  жесткости  и  вектор  нагрузок  для  элемента  вида  II .

Вектор  нагрузок  будет  иметь  вид :

    ;

составляем  матрицу    индексов  ( алгебра  Буля )  ,  которую  также  называют  матрицей   соответствия   или  матрицей  инцедентности  .

 Для  нумеровки  :

  18 – это  количество  локальных  степеней  свободы  элемента  II  ,  то  есть элемента  Лагранжа  .

 - локальная  нумерация  степеней  свободы  треугольного  элемента  с

линейными  функциями  формы .

эл.                                            Локальные  степени  свободы                 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

1

3

4

5

6

1

2

2

1

2

3

4

5

6

3

5

6

3

4

1

2

4

1

2

3

4

5

6

5

1

2

3

4

5

6

6

5

6

1

2

3

4

7

3

4

5

6

1

2

8

5

6

1

2

3

4

Похожие материалы

Информация о работе