Конечно-элементные аппроксимации высшего порядка, страница 8

4.6. двумерные базисные функции высших степеней для прямоугольных конечных элементов

4.6.1. Базисные рункции стандартного типа

для лагранжевых и серендиповых элементов

В § 3.7 уже рассматривался простой прямоугольный элемент с четырьмя узлами в углах. Стандартные базисные функции для этого элемента были получены просто как произведения соответ ствующих одномерньтх линейных базисных функций от х и у (рис. 4.5, а).

Ясно, что для таких элементов имеет место Со.гладкость всех глобальных базисных функций, поскольку совпаден не узловых

х

4.8. Повторить упражнение 4.1, используя иерархические квадратичные и кубические элементы.

4.9. В упражнении 1.2 найти распределение изгибающего момента, исполь зуя сначала два квадратичных, а затем два кубических иерархических эле мента. Сравнить ответы с результатами, полученными в упражнении 4.6.

4.10. Повторить упражнение 4.7, используя иерархические элементы.

4.11. Найти приведенную матрицу элемента 1. из примера 4.2, исполь. зуя иерархический элемент четвертой степени.

4.12. Вывести слабую форму уравнения метода взвешенных невязок для задачи об отклонении нагруженной балки на упругом основании, описанной в упражнении 1.20. Показать, что если решение ищется методом конечных элементов, то стандартная теория требует применения элементов с С костью. Найти кубические базисные функции для таких элементов, если ап проксимация на элементе берется в виде

х

б

$ .3 —о———-о—----’

о          о

5=1 0   0

5 —

г г=1 г=2 . г=3 Х

в

Рис. 4.5. Некоторые прямоугольные элементы н соответствующие им лагранжевы

базисные функции.

4.6. двумерные базисные функции высших степеней 173

172 Гл. 4. Конечно-элементные аппроксимации высшего порядк

значений в каждом из углов гарантирует однозначное линейное изменение вдоль любой стороны элемента.

Найти базисные функции высших степеней не составит ника кого труда, если узлы элемента находятся в вершинах прямо угольной сетки. Например, для квадратичного элемента можно получить базисную функцию, соответствующую произвольному узлу сетки на рис. 4.5, 6, перемножив отвечающие этому узлу стандартные одномерньте базисные функции от х и у.

Действительно, если каждой точке сопоставить двойной индекс ( ) (для квадратичного элемента г = 0, 1, 2; = 0, 1, 2), то соответствующую узлу (г, 5) базисную функцию элемента можно записать как

(х) Л (у),         (4.29)

где для квадратичного элемента р = 2. В приведенном соотноше нии Л обозначает фундаментальный многочлен Лагранжа сте пени р, определенный равенством (4.10).

Приведенное выше соотношение является весьма общим: таким образом могут быть получены базисные функции элемента произ вольной степени. На рис. 4.5, в показано соответствующее обоб щение для кубического элемента. Отметим, что ЛГ будет равно единице только в узле (г, 5) и тождественно равно нулю во всех других узлах элемента.

Само собой разумеется, что для многочленньтх базисных функ ций элемента этого типа и произвольной степени обеспечена неп рерывность глобальных базисных функций при переходе между соседними элементами, поскольку здесь ассоциируемого с каждой стороной числа параметров достаточно для однозначного опреде ления мтiогочлена. В свою очередь это гарантирует Со глобальной аппроксимации . Отметим, кроме того, что с другими элементами связаны только узлы вдоль сторон каждого элемента. Поэтому на элементном уровне внутренние узлы элемента могут быть исключены из матрицы элемента.

Интересно выяснить, какие члены входят в базисные функции элемента лагранжева типа степени р. Согласно (4.29), базисные функции получаются как произведения многочленов степени р отдельно от х и у. Ясно, что число членов в этом произведении превышает число членов, необходимое для воспроизведения мно гочлена степени р от х и у. На рис. 4.6, а построен известный треугольник Паскаля, по которому можно определить число чле нов в многочлене произвольной степени (например, 10 членов для кубического многочлена). На рис. 4.6, 6 выделены дополни тельные шесть членов, появляющихся в кубической лагранжевой базисной функции определенiтого соотношением (4.29) типа. Это наводит на мысль, что число узлов, ассоциируемых с элементами более высоких степеней, можно уменьшить, попытавшись обеспе-