Особенности формирования матриц физико-механических, теплофизических и других свойств, в условиях возможного изменения параметров

ОСОБЕННОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ МАТРИЦ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ, ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ И ДРУГИХ СВОЙСТВ, В УСЛОВИЯХ ВОЗМОЖНОГО ИЗМЕНЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ.

Распределение свойств в точках интегрирования элементов различного вида.

Метод  конечных  элементов  представляет  собой  эффективный  численный  метод  решения  инженерных  и  физических  задач. Область  его  применения  простирается  от  анализа   напряжений  в  конструкциях  самолетов  или  автомобилей  до  расчета  таких  сложных  систем, как  атомная  электростанция. С  его  помощью  рассматривается  движение  жидкости  по  трубам, через  плотины, в пористых  средах, исследуется  течение  сжимаемого  газа, решаются  задачи  электростатики  и  смазки, анализируется  колебания  систем.

Основная  идея  метода  конечных  элементов  состоит  в  том, что  любую  непрерывную  величину, такую, как  температура, давление  и  перемещение  можно  аппроксимировать  дискретной  моделью, которая  строится  на  множестве  кусочно-непрерывных  функций, определенных  на  конечном  числе  подобластей. Кусочно-непрерывные  функции  определяются  с  помощью  значений  непрерывной  величины  в  конечном  числе  точек  рассматриваемой  области.

                          Чтобы  показать, как  определяются  матрицы  элементов  и  каким  образом  с  их  помощью  формируется  система  линейных  уравнений, рассмотрим  стержень  с  поперечным  сечением  в  форме  квадрата (рис 1а). В  связи  с  наличием  четырех  осей  симметрии  можно  рассмотреть  только 1/8  квадрата. Разобьем  эту  часть  на  четыре  элемента, как  показано  на  рис. 1б. Четырех  элементов  мало  для  получения приемлемой  точности  решения, но  вполне  достаточно  для  иллюстрации  техники  получения  необходимой  системы  уравнений, что  является  нашей  целью.

                          Предстаывим   интерполяционные   полиномы  для  элементов  в  виде:

                          Общая  формула  для  матрицы  жесткости  эллемента  записывается  как:

             Здесь  учтено, что  в  рассматриваемом  случае:            

                          Для  определения необходимо  дифференцировать  по Х  и  Y.

                          Рассмотрим  подробно  первый  элемент:

                         

 Матрица  градиентов  имеет  вид:

Площадь  этого  элемента:

                          и

Коэффициенты  b  и  с  равны                    

                                               

Подставляя  эти  значения  в  формулу  (3), получаем    

 

Произведение                             равно

  или

Матрица жесткости элемента представляет собой интеграл от (5). Так как произведение  матриц                    является постоянной величиной, оно может быть вынесено из-под интеграла, что дает

Толщина элемента предполагается при этом единичной. Воспользовавшись  формулой (5) и тем, что                          получаем:

 

Объемный  интеграл

вычисляется  просто, если  воспользоваться  системой  L-координат:

Объемный  интеграл  запишется  как

Предполагая  толщину  элемента  единичной  и  применяя  интегральную  формулу 

находим

Подстановка  значений       

дает

Таким  образом, система  уравнений  для  первого  элемента  имеет  вид

                                                                или

Аналогично  можно  получить  систему  уравнений  для  любого  другого  элемента. Окончательное  выражение  для  матриц  остальных  элементов  выглядят:

 

 

Окончательно  полная  система  уравнений  получается  алгебраическим  суммированием  уравнений  для  отдельных  элементов. Она  имеет  вид

Все  величины  Ф  с  индексами  3,  5,  6  равны  нулю,  так  как  соответствующие  им  узлы  расположены  на  внешней  на  внешней  границе. Преобразуя  систему  уравнений  (12)  и  решая  ее,  получаем

                   Формирование  матриц  теплопроводности  и  конвекции.

               Уравнение  теплопроводности  в  сплошной  среде  имеет  вид

 

Где  Т- температура; К- коэффициенты  теплопроводности  в  направлениях  X,  Y  и  Z  размерности  кВт/м*К; Q- источник  тепла  внутри  тела, который  считается  положительным, если  тепло  подводится  к  телу, его  размерность  кВт/м**3.

С  уравнением  (13)  связывают  два  вида  граничных  условий. Если  температура  известна  на  некоторой  части  границы, то  пишут

Где 

 температура  на  границе,  которая  может  быть  функцией  координат  точек 

поверхности  s. Если  на  границе  происходит  конвективный  теплообмен, который  характеризуется  величиной  h, или  задан  поток  тепла  q, то  граничное  условие  имеет  вид