Треугольный элемент. Функции формы для элементов высокого порядка. Вычисление производных функций формы. Программа MCHB

Страницы работы

10 страниц (Word-файл)

Содержание работы

2. ТРЕУГОЛЬНЫЙ ЭЛЕМЕНТ

Каждая координатная компонента для треугольного элемента представляет собой отношение расстояния от выбранной точки до одной из сторон треугольника к высоте, опущенной на ту же сторону. Координаты треугольника обознача­ются через L1, L2 и L3. Эти три величины не являются независи­мыми, они связаны между собой соотношением

L1+L2+L3=1               (1)

Каждому типу треугольных элементов соответствует интерпо­ляционный полином определенного порядка. Квадратичный тре­угольный элемент, например, содержит шесть узлов (фиг. 1);  интерполяционный полином для него имеет вид

j=a1+a2 x+a3 y+a4 x2+a5 x y+a6 y2.                              (2)

Величина ai в формулах (2) может быть определена методами, изложенными в гл. 3. Алгебраические операции при этом, однако, становятся более сложными, так как число узлов возрастает. Более предпочтительным оказывается, непосредствен­ное получение функций формы. Использование естественной систе­мы координат значительно упрощает эту операцию в случае

Фиг. 1,  квадратичный элемент.

треугольного элемента. Мы начнем обсуждение треугольных элемен­тов высокого порядка с рассмотрения непосредственного получения  функций формы.

2.1.Функции формы для элементов высокого порядка

Общая формула для вычисления функции формы имеет вид

                           (4)

где n-порядок треугольника, а Fd-функции от L1, L2  и L3.Порядок треугольника

n определяется как величина , на единицу меньшая числа узлов на стороне треугольника .Квадратичный треугольник имеет три узла  на стороне и поэтому является элементом второго порядка .

   Функция Fd определяются из уравнений п линий, которые про­ходят через все узлы, за исключением узла, для которого опреде­ляется функция формы. Если рассматривается уравнение прямое L1=c , то Fd=L1-с. Знаменатель (4) есть значение Fd, опреде­ляемое с помощью координат узла b (узла, в котором вычисляет­ся Nb).

Фиг. 2. Функции формы для квадратичного элемента

N1=L1( 2 L1-1),  N2=4 L1 L2 ,  N3=L2( 2 L2-1),

N4=4 L2 L3 ,  N5=L3( 2 L3-1)  , N6=4 L1 L3;

2.2.Вычисление производных функций формы

В качественезависимых координат выберем координаты L1 и L2 . Дифференцируя  получаем

                              (5)

Матрица Якоби имеет вид

                                           (6)

Поэтому

                                                (7)

Таким образом, для производных получаем

                                            (8)

Чтобы учесть зависимую координату L3, можно поступить двояко: либо переписать все функции формы, выразив их через L1 и L2 , либо заметить, что             

                (9)

Производная ¶L1/¶L1 равна единице, a ¶L2/¶L1 равна нулю, так как L1 и L2 независимые. Третье слагаемое может быть вычислено с помощью соотношения

L3=1-L1-L2.                                (10)

Дифференцируя его, имеем

                      ¶L3/¶L1=-1.

Теперь формула (9) преобразуется к виду

                         (11а)

Аналогичное выражение получаем для ¶Nb/¶L1:

                                                                            (11б)

Принятые в формулах (11a) и (116) обозначения могут сначала вызвать недоумение, потому что члены ¶Nb/¶L1 и ¶Nb/¶L2 находятся в обеих частях равенства. Частная производная от Nb  в левой части равенств вычисляется, когда Nb выражена как функция независимых координат L1 и L2. В правой части функция N считается выраженной через L1 ,L2 ,L3 .

Соотношения преобразований координат, определяющие форму элемента, обычно записываются с использованием трех координат. Следовательно, при вычислении матрицы Якоби должны приме­няться формулы (11а) и (116).

Применение сформулированных выше положений иллюстри­руется на следующем примере.

Пример.

  Требуется вычислить ¶N4/¶xв точке (1, 4) для квадратичного треугольного элемента, показанного ниже.

                                                             

  Форма элемента может быть задана с помощью линейных функ­ций формы L1, L2 и L3 и координат узловых точек, расположенных в вершинах треугольника. Запишем формулы преобразований ко­ординат

X=L1X1+L2X2+L3X3,

Y=L1Y1+L2Y2+L3Y3.

 После подстановки узловых координатимеем

X=3L2+L3,

Y=2L2+6L3.

Вычислим производные, входящие в матрицу Якоби:

Матрица Якоби и обратная к ней матрица имеют вид

Функция формы N4 есть 4L2 L3. Дифференцируя ее по L1 и L2,

получаем                             

Подстановкаэтих частных производных вместе с [J]-1  в формулу (8)

дает

или

Похожие материалы

Информация о работе