Численные методы интегрирования. Численное решение обыкновенных ДУ

Страницы работы

Фрагмент текста работы

СОДЕРЖАНИЕ

1. Численные методы интегрирования.

2.Численное решение обыкновенных  ДУ.

1.Численные методы интегрирования.

Постановка  задачи:

1. требуется вычислить точное значение интеграла

J0= =-ctg(1.5)+ctg(0.5)= 1,759573

2.найти J0 = с помощью методов прямоугольников:

J1 =h и трапеций: J=h((f(x0 )+f(xn))/2 + ). Сравнить с точным значением. Рассмотреть для каждого метода два случая:N=10,N=20, N=40.

Формула прямоугольников.

Пусть F(x)=f(xi-1),х€[xi-1,xi],т.е. аппроксимируем f(x)левой кусочно-постоянной интерполяцией. Тогда получим

 ==f(xi-1)=f(xi-1 )(xi-xi-1)=h*f(xi).

Таким образом  =h(xi-1 ). Эта формула называется формулой левых прямоугольников.

Аналогично может быть получена формула правых прямоугольников.

f(x)=f(xi). в результате получим =h.

Если на каждом отрезке [xi-1,xi] заменить значение функции f(x) на ее значение в середине отрезка, т.е.  f(x)=f(xi-1/2),x€[xi-1,xi],получим формулу средних прямоугольников.

 Формула трапеций.

Во всех рассмотренных формулах площадь криволинейной трапеции заменялась на площадь прямоугольников.

В методе трапеций криволинейная трапеция заменяется на прямолинейную ,площадь которой вычисляется по известным формулам:

Формула трапеций может быть также получена путем замены подынтегральной функции интерполяционным полиномом первой степени:

L1,x =1/h[(X-Xi-1)f(Xi)-(X-Xi)f(Xi-1)].

Можно показать ,что формула трапеций совпадает с формулой средних прямоугольников для таблично заданной функции .

Формулу трапеций можно также записать в виде :

.

Результаты вычислений:

а=

0,5

b=

1,5

h=

0,10

N=

10

а=

0,5

b=

1,5

h=

0,05

N=

20

а=

0,5

b=

1,5

h=

0,025

N=

40

i

Xi

f(Xi)

(Xi+Xi+1)/2

f((Xi+Xi+1)/2)

f(i+1)+4*f(i+0.5)+f(i+1)

0

0,50

4,3506853

0,55

3,660296126

22,12842485

1

0,60

3,13655504

0,65

2,73037106

16,46758245

2

0,70

2,40954317

0,75

2,152243696

12,96177575

3

0,80

1,9432578

0,85

1,771723218

10,6598741

4

0,90

1,62972342

0,95

1,511384998

9,087546346

5

1,00

1,41228293

1,05

1,329039557

7,987489687

6

1,10

1,25904853

1,15

1,200281331

7,211323408

7

1,20

1,15114955

1,25

1,110405624

6,669842496

8

1,30

1,07707045

1,35

1,050380369

6,308340146

9

1,40

1,02974822

1,45

1,014734881

6,093716662

10

1,50

1,00502892

i

Xi

f(Xi)

(Xi+Xi+1)/2

f((Xi+Xi+1)/2)

f(i+1)+4*f(i+0.5)+f(i+1)

0

0,50

4,3506853

0,525

3,980662324

23,93363072

1

0,55

3,66029613

0,575

3,381162359

20,32150061

2

0,60

3,13655504

0,625

2,921082697

17,55125689

3

0,65

2,73037106

0,675

2,560841389

15,38327978

4

0,70

2,40954317

0,725

2,27402649

13,65789282

5

0,75

2,1522437

0,775

2,042472872

12,26539298

6

0,80

1,9432578

0,825

1,853360472

11,12842291

7

0,85

1,77172322

0,875

1,697438316

10,1911999

8

0,90

1,62972342

0,925

1,567901609

9,412714857

9

0,95

1,511385

0,975

1,459661349

8,76231332

10

1,00

1,41228293

1,025

1,368857287

8,216751631

11

1,05

1,32903956

1,075

1,292525991

7,758192053

12

1,10

1,25904853

1,125

1,228370225

7,372810765

13

1,15

1,20028133

1,175

1,174596018

7,049814957

14

1,20

1,15114955

1,225

1,129795893

6,780738748

15

1,25

1,11040562

1,275

1,092864204

6,558932887

16

1,30

1,07707045

1,325

1,062935228

6,379191728

17

1,35

1,05038037

1,375

1,039337696

6,237479373

18

1,40

1,02974822

1,425

1,021561466

6,130728965

19

1,45

1,01473488

1,475

1,009233374

6,056697291

20

1,50

1,00502892

Похожие материалы

Информация о работе