Численное решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения

Лабораторная работа №9

Тема: Численное решение краевой задачи  для обыкновенного дифференциального уравнения

Рассмотрим краевую задачу для линейного дифференциального уравнения второго порядка

, ,

,                                                                                                       (1)

,

где p(x), q(x), f(x) – заданные функции; с₁, с₂, с₃, d₁, d₂, d₃ –заданные константы.

Заменой , задачу (1) можно свести к краевой задаче для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка

,                           

, ,

,                                                                                                     (2)

.

Замечание: В общем случае (в случае нелинейной системы уравнений первого порядка) краевые условия имеют вид:

,                                                                                                     (3)

.

При решении краевой задачи методом стрельбы произвольно задаем

                                                                                                                      (4)

Затем из первого краевого условия (3), которое принимает вид

,                                                                                                          (5)

аналитически или численно находим

.                                                                                                                 (6)

С начальными данными (4) и (6) численно решаем задачу Коши. Полученные результаты:  и подставляем во второе краевое условие (3)

,                                                                                     (7)

которое не будет выполняться, т.к. число   выбрано нами произвольно.

Соотношение (7) рассматриваем как уравнение относительно переменной . Корень уравнения (7) находим с заданной точностью методом секущих

,                                                                                     (8)

где i – номер итерации.

В случае линейной задачи (2) начальные условия соответствующей задачи Коши принимают вид

,                                                                                        (9)

Решения задачи Коши , с начальными данными (9) будут иметь линейную зависимость от параметра , поэтому и левая часть уравнения (7) будет линейной функцией аргумента . Следовательно, значение , найденное по формуле секущих (8), при i=1, будет точным корнем уравнения (7). Таким образом, для решения линейной граничной задачи (2) методом стрельбы достаточно трижды решить задачу Коши.