Решение нелинейных алгебраических уравнений аналитическим, табличным и графическим способами, а также методом деления отрезка пополам, страница 4

метод релаксации, интервал 1[-6;-5]

k

x

|Xk+1 -Xk|

F(Xk)

0

-5,5

0

5,004833996

1

-5,253104532

0,246895468

1,035289229

2

-5,202032265

0,051072267

0,344959601

3

-5,185014925

0,01701734

0,124109864

4

-5,178892412

0,006122513

0,04575191

5

-5,176635406

0,002257006

0,017011816

6

-5,175796189

0,000839217

0,006345445

7

-5,17548316

0,00031303

0,002369637

8

-5,175366262

0,000116898

0,000885301

9

-5,175322589

4,36731E-05

0,000330804

10

-5,17530627

1,6319E-05

0,000123617

метод релаксациии, интервал 2 [-3;-0,5]

k

x

|Xk+1 -Xk|

F(Xk)

0

-1,75

0

-2,198914339

1

-0,912224631

0,837775369

0,225342175

2

-0,998078873

0,085854242

0,005019341

3

-0,999991217

0,001912344

2,29554E-05

4

-0,999999963

8,7459E-06

9,62513E-08

метод релаксациии, интервал 3 [1;3]

k

x

|Xk+1 -Xk|

F(Xk)

0

2

0

1,25

1

2,563924574

0,563924574

-0,276745202

2

2,439073838

0,124850736

0,113468484

3

2,490263971

0,051190133

-0,042912995

4

2,470904217

0,019359754

0,016818846

5

2,478491865

0,007587648

-0,006506317

6

2,475556608

0,002935258

0,002530014

7

2,476697997

0,00114139

-0,000981849

8

2,476255046

0,000442951

0,000381333

9

2,47642708

0,000172034

-0,000148058


        

Таблица 3

Метод

№ корня

Интервал изоляции

Значение корня

Количество итераций

релаксации

1

[-6;-5]

-5,175796189

6

2

[-3; -0,5]

-0,999999963

4

3

[1; 3]

2,476255046

8

Таблица 4

№ корня

Точность

Значение корня

Количество итераций

1

0,01

         -5,178892412

4

0,001

-5,17579618

6

0,0001

-5,175322589

9

Вывод:

Сравнив  результаты расчетов разных методов вычислений ,  не трудно заметить , что для нахождения корней уравнений , больше всего итераций надо для метода деления отрезка пополам(10-12),для метода Ньютона (2-7) и для метода релаксации (4-8). Быстрее всего сходяться методы Ньтона и релаксации.

Часть 2. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Решением системы линейных алгебраических уравнений , состоящей из N уравнений, является вектор , состоящий из N компонент, который при подстановки в исходную систему дает набор из N тождеств. Здесь А – матрица коэффициентов системы,  - вектор неизвестных,  - вектор правых частей. При решении небольших систем удобно использовать точные методы решения, к которым относятся метод обратной матрицы, метод Крамера, метод Гаусса и другие. При решении систем большой размерности, используют итерационные методы.

Формулировка задания

Найти решение системы линейных уравнений Ax̅=b̅, где

матрица А

b

27

-3

-8

-15

-5

3

21

-5

-12

0

8

5

21

-7

5

15

12

7

35

10

1. Метод обратной матрицы x̅ = A-1 b̅, используя функции Excel МУМНОЖ и МОБР.

Результаты вычислений:

матрица А-1

вектор х

0,029

-0,004234

0,005977

0,0121634

0,006625

-0,01

0,040037

0,002301

0,0096829

0,160884

-0,01

-0,011147

0,040947

-0,000243

0,256098

-0,01

-0,009683

-0,01154

0,0200874

0,176495

2.Метод простой итерации с точностью ε=0.001. Метод простой итерации заключается в:

Где k – номер итерации, n – количество уравнений, xi(0) – начальное приближение.