Решение нелинейных алгебраических уравнений аналитическим, табличным и графическим способами, а также методом деления отрезка пополам, страница 3

Метод Ньютона интервал 1  [-6;-5]
n	xi	f(xi)	fp(xi)	pogr
0	-5,2	0,31834736	-13,07894483
1	-5,175659553	0,004609838	-12,70136336	0,024340447
2	-5,175296613	1,0119E-06	-12,6957875	0,00036294

Метод Ньютона, интервал 2 [-3;-0,5]
n	xi	f(xi)			fp(xi)			pogr
0	-0,5	1,164213562			2,019741857
1	-1,07641701	-0,202715297			2,691130581			0,57641701
2	-1,001089823	-0,002849094		2,614837672			0,075327187
3	-1,000000236	-6,16519E-07	2,613705884			0,001089587
4	-1	-2,93099E-14	2,613705639			2,35879E-07

Метод Ньютона, интервал 3 [1;3]
n	xi	f(xi)	fp(xi)	pogr
0	3	-1,875	0,34657359
1	8,410106403	-52,90673719	-14,82225046	5,410106403
2	4,840693154	-12,71602545	-7,705576072	3,569413249
3	3,190456321	-2,688557833	-4,456840721	1,650236833
4	2,587213351	-0,352839381	-3,289771135	0,60324297
5	2,479959878	-0,011031849	-3,084165965	0,107253474
6	2,476382947	-1,2243E-05	-3,077320534	0,003576931
7	2,476378968	-1,51443E-11	-3,077312921	3,97848E-06

6.составим таблицы  

                                               Таблица№1

Метод	№ корня	Интервал изоляции	Значение корня	Количество итераций
Деления отрезков	1	[-6; -5]	-5,175229	10
	2	[-3; -0,5]	-1,000183	12
	3	[1; 3]	2,476074	11
Ньютона	1	[-6; -5]	-5,175296	2
	2	[-3; -0,5]	-1	4
	3	[1; 3]	2,476378	7

                                        Таблица №2 ( метод деления отрезка пополам)

№ корня	Точность	Значение корня	Количество итераций
3	0,01	2,472656	8
	0,001	2,476074	10
	0,0001	2,476348	15

7. Метод релаксации.

Суть метода: привести уравнение к к виду , удобному для применения метода простой итерации : х=φ(х), где например φ(х)=х-τ f(x).  Параметр τ подбирается  таким образом, что бы выполнялось достаточное условие  сходимости метода:  |φ’(x)|<1для всех  xϵ[a;b], оптимальным значением будет τ =2/(М+m), где М=max F’(x), min=F’(x).Выберем начальное приближение х₀ ϵ[a;b]. Следующие итерации находят по формуле Х_к+1= φ(х).

Представим   φ(х)=х-τ(0,5^х+2-(х-1)²

F’(x)= 0,5^х ln(0,5)-2(х-1)     

F”(x)= 0,5^х  (ln(0,5))²-2=0

X=-2,05753                принадлежит 2 интервалу

Найдем параметр τ для интервала 1 [-6;-5]

F’(-6)= - 30,3614196       - min

F’(-5)= - 10,1807098       -Max      

         τ₁=2/(-30,3614196-10,1807098)=-0,0493314

найдем параметр τ для 2 интервала [-3;-0,5]

F’(-3)=2,454823

F’(-2,05753)=3,229675           Max

F’(-0,5)=2,019742                   min

         τ₂=2/(3,229675+2,019742)=0,380995

найдем параметр τ для 3 интервала[1;3]

F’(1)=-0,34657  max

F’(3)=-4,08664  min

         τ₃=2/(-0,34657-4,08664)=-0,451139