Математика \ Численные методы

Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, страница 5

Идея построения явных методов Рунге-Кутты p-го порядка заключается в получении приближений к значениям y(x_i₊₁) по формуле вида y_i₊₁ = y_i + h*φ(x_i, y_i, h),

Где φ (x_i, y_i, h) = ∑c_nk_nⁱ(h)

k₁ⁱ(h) = f(x_i, y_i),

k₂ⁱ(h) = f(x_i+ α₂h, y_i + β₂₁k₁ⁱ(h)),

k₃ⁱ(h) = f(x_i+ α₃h, y_i + β₃₁k₁ⁱ(h) + β₃₂k₂ⁱ(h)),

……..

k_gⁱ(h) = f(x_i+ α_gh, y_i + β_g1k₁ⁱ(h) +…..+ β_g,g-1k_g-1ⁱ(h)),

здесь α_n, β_nj, 0 < j < n ≤ g – некоторые фиксированные числа (параметры), которые подбирают таким образом, чтобы получить нужный порядок аппроксимации p.

В данной лабораторной работе используем трехшаговый метод Рунге-Кутты третьего порядка аппроксимации:

k₁ = f(x_i, y_i),

k₂ = f(x_i+ h/3, y_i + hk₁/3),

k₃ = f(x_i+ 2h/3, y_i + 2k₂h/3).

Приближенное значение определяется по формуле: y_i₊₁ = y_i + (h/4)( k₁+ 3k₃), i = 0, 1, 2,….M, y₀ = y⁰.

M=10

Номер шага i	Значение аргумента x_i	k₁	k₂	k₃	Приближенное решение y_i	Точное решение y(x_i)	Погрешность \|y(x _i) - y_i\|
0	0				0	0	0
1	0,15708	-1	-0,99863	-0,99453	-0,156435442	-0,15643	9,7707E-07
2	0,314159	-0,98769	-0,97825	-0,96596	-0,309020877	-0,30902	3,8825E-06
3	0,471239	-0,95106	-0,9339	-0,91361	-0,454001211	-0,45399	1,0711E-05
4	0,628319	-0,89101	-0,86668	-0,8388	-0,587809994	-0,58779	2,4742E-05
5	0,785398	-0,80902	-0,77822	-0,74338	-0,707157138	-0,70711	5,0357E-05
6	0,942478	-0,70711	-0,67067	-0,6297	-0,809109865	-0,80902	9,287E-05
7	1,099557	-0,58779	-0,54668	-0,50058	-0,891164883	-0,89101	0,00015836
8	1,256637	-0,45399	-0,40928	-0,3592	-0,951309975	-0,95106	0,00025346
9	1,413717	-0,30902	-0,26184	-0,20905	-0,988073363	-0,98769	0,00038502
10	1,570796	-0,15643	-0,108	-0,05384	-1,000559522	-1	0,00055952

M=20

Номер шага i	Значение аргумента x_i	k₁	k₂	k₃	Приближенное решение y_i	Точное решение y(x_i)	Погрешность \|y(x _i) - y_i\|
0	0				0	0	0
1	0,078539816	-1	-0,99966	-0,99863	-0,0784591	-0,07846	3,0462E-08
2	0,157079633	-0,99692	-0,99453	-0,99145	-0,1564346	-0,15643	1,07187E-07
3	0,235619449	-0,98769	-0,98328	-0,97815	-0,2334456	-0,23345	2,4644E-07
4	0,314159265	-0,97237	-0,96597	-0,95882	-0,3090175	-0,30902	4,76042E-07
5	0,392699082	-0,95106	-0,94271	-0,93359	-0,3826843	-0,38268	8,34844E-07
6	0,471238898	-0,92388	-0,91366	-0,9026	-0,4539919	-0,45399	1,3721E-06
7	0,549778714	-0,89101	-0,87897	-0,86604	-0,5225007	-0,5225	2,14674E-06
8	0,628318531	-0,85264	-0,83887	-0,82415	-0,5877885	-0,58779	3,22665E-06
9	0,706858347	-0,80902	-0,79361	-0,77717	-0,6494527	-0,64945	4,68785E-06
10	0,785398163	-0,76041	-0,74345	-0,72541	-0,7071134	-0,70711	6,61366E-06
11	0,86393798	-0,70711	-0,68872	-0,66917	-0,7604151	-0,76041	9,09392E-06
12	0,942477796	-0,64945	-0,62974	-0,60882	-0,8090292	-0,80902	1,2224E-05
13	1,021017612	-0,58779	-0,56689	-0,54471	-0,8526563	-0,85264	1,6104E-05
14	1,099557429	-0,5225	-0,50054	-0,47724	-0,8910274	-0,89101	2,08374E-05
15	1,178097245	-0,45399	-0,4311	-0,40684	-0,9239061	-0,92388	2,65298E-05
16	1,256637061	-0,38268	-0,35901	-0,33392	-0,9510898	-0,95106	3,32875E-05
17	1,335176878	-0,30902	-0,28471	-0,25896	-0,9724111	-0,97237	4,12151E-05
18	1,413716694	-0,23345	-0,20865	-0,18239	-0,9877388	-0,98769	5,04129E-05
19	1,49225651	-0,15643	-0,1313	-0,10471	-0,9969783	-0,99692	6,09736E-05
20	1,570796327	-0,07846	-0,05314	-0,02638	-1,000073	-1	7,2978E-05

1 2 3 4 5 6 7

Скачать файл