Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования, страница 2

Следствие: Если f(x)~g(x) при , то  f и g одновременно либо интегрируемы, либо неинтегрируемы на промежутке [a; +∞).

Основные формулы для несобственных интегралов на бесконечном промежутке.

1. Линейность интеграла. Если несобственные интегралы

  сходятся, то для любых чисел p и q сходится интеграл

причем

2. Формула Ньютона—Лейбница. Если функция , , непрерывна и  , , — какая-либо ее первообразная, то

где

3. Формула замены переменной. Пусть , — не прерывная ,, — непрерывно дифференцируемая функции, причем

тогда

 (2)

Формула (2) справедлива в случае сходимости по крайней мере

одного из двух входящих в нее интегралов. В случае расходимости

одного из интегралов расходится и другой.

4. Формула интегрирования по частям. Если , ,  и , — непрерывно дифференцируемые функции и  существует, то

          (3)

где

Формула (3) справедлива в случае сходимости по крайней мере одного из двух входящих в нее интегралов. В случае расходимости одного из интегралов расходится и другой.

N102

                при

Откуда

Откуда . При этом условии интеграл сходится.

N103

При интеграл сходится

N104

 - интеграл сходится

N105