Математика \ Высшая математика

Функціональні ряди. Збіжність функціональних рядів. Властивості рівномірно збіжніх рядів. Степеневі ряди. Ряди Тейлора і Маклорена, страница 4

. Це диференційне рівняння з відокремлюючими змінними, яке легко інтегрується. При інтегруванні два рази, з’явиться дві довільні сталі, значення яких можна знайти лише маючи початкові умови. Такі умови легко створити самому, підставивши яке-небудь значення (наприклад х=0) в (*) і в (**).

Ми одержимо . Розв’язуємо рівняння.

. Обчислюємо С₁

. Інтеграл обчислюємо частинами Обчислюємо . . Таким чином .

Сума ряду даного за умовою буде . Це і є відповідь.

Зауваження. Початковий ряд при х=1 збігається однак знайдена сума при х=1 невизначена. Це повязано з тим, що поблизу кінців інтервалу збіжності – ряд збігається нерівномірно. А при диференціюванні нерівномірно збіжного ряду в деяких точках (як правило на кінцях інтервалу) втрачається його збіжність.

П.5. Знайти суму ряду

Розв. Область збіжності цього ряду . Цей ряд збігається рівномірно скрізь в області збіжності крім точок, які лежать поблизу кікців інтервалу збіжності. Придивимось до ряду , якщо ми його проінтегруємо, по одному множнику у кожному доданку скоротиться і одержимо простіший ряд. Нехай тоді . Виконавши інтегрування, одержимо

. Очевидно, що ще одне інтегрування ліву частину останьої рівності перетворить в звичайну нескінченно спадну геометричну прогресію, суму якої знайти дуже легко.

. Це найпростіше інтегральне рівняння (невідома функція знаходиться під знаком інтеграла). Розвязується воно застосуванням до обох частин операції оберненої до інтегрування – диференціювання. . Виконаємо операцію диференціювання . Або після спрощення . Застосовуючи повторно диференціювання, одержимо

. Це і є відповідь.

П.6. Використовуючи стандартні розвинення в ряди, розкласти за степенями х функцію

Розв. Представимо функцію у вигляді суми двох функцій. Таке представлення можливе бо знаменник дробу можна записати у вигляді добутку двох двочленів

і потім, застосувавши метод невизначених коефіцієнтів прийдемо до суми. перегрупуємо

. Для знаходження невизначених коефіцієнтів А і В одержуємо систему . Таким чином . Перетворимо ці доданки так, щоб можна було застосувати до кожного з них формулу суми нескінченно спадної геометричної прогресії. =

={область збіжності першого ряду , другого . Зрозуміло, що область збіжності суми буде }=

=Це і є відповідь.

2.6. Формули Ейлера

Додамо дві рівності та .

(2.31)

Якщо ж ми ці дві рівності віднімемо, то одержимо розвинення в степеневий ряд .

(2.32)

Для подальшого розуміння матеріалу пригадаємо деякі елементи теорії функцій комплексної змінної, а саме: далі дуже легко знайти яку завгодно степінь уявної одиниці – треба її показник розділити на 4 і якщо в остачі буде 0, то величина степеня буде дорівнювати 1; якщо остача 1, то величина степеня буде і; якщо два, то буде –1; якщо три, то буде –і. Розпишемо ряди при .