Функціональні ряди. Збіжність функціональних рядів. Властивості рівномірно збіжніх рядів. Степеневі ряди. Ряди Тейлора і Маклорена, страница 2

                                                      2.3. Степеневі ряди

О. Степеневим рядом називають ряд      (2. 17)

Ряд (2.17)  називають рядом за степенями х. Тут

О. Степеневим також називають ряд    (2. 18)

Ряди (2.18) називають рядом за степенями  . Тут також .

Виконавши в (2.18) заміну  дістанемо (2.17). Оскільки ряд (2.17) зручніший за формою, ніж ряд (2.18), то коли це можливо, користуватимемося рядом (2.17). Степеневий ряд, очевидно, є окремим випадком функціонального ряду.

Питання збіжності ряду (2.17) вирішується  теоремою Абеля.

Т.а) Якщо степеневий ряд (2.17) збіжний при  то він абсолютно збіжний і при  таких, що

б) Якщо степенний ряд (2.17) розбіжний при , то він розжбіжний і при  таких, що .

Дов-ня. а) оскільки ряд  збіжний при , то збіжним є числовий ряд . Звідси     (це є необхідна умова збіжності) і існує таке , що

 для всіх .

Тут скористалися обмеженістю послідовності, яка має границю.

Запишемо таку рівність:                                                             (2.19)

Тоді для членів останнього ряду матимемоРяд

збігається як сума геометричної прогресії зі знамеником  Беручи до уваги те, що  і рівність (2.19), дістаємо доводжуване твердження теореми.

Ураховуючи теорему Абеля, структуру області збіжності (2.17) можна зобразити так, як показано на рис. 1.1. Перебираючи значення  між  і , зближуючи  і , маємо випадок:

                              Рис.1.1.                                 існує таке число , що ряд збіжний при  і розбіжним при . Це число R називають радіусом збіжності ряду, а з самого визначення радіуса збіжності маємо інтервал збіжності .

Для того щоб знайти радіус збіжності, або зразу інтервал збіжності, застосовують вивчені раніше (лекція 1) достатні умови збіжності числових рядів:

Даламбера , тобто .

Радикальний Коші , тобто .

Як відомо, і ознака Даламбера і ознака Коші вирішують питання про збіжність (розбіжність) у випадку строгих нерівностей < (>), у випадку = питання про збіжність ряду залишається відкритим. Тому, щоб з’ясувати питання про збіжність ряду на кінцях інтервалу збіжності, тобто при x = –R i x = R, ці значення  підставляють в функціональний ряд і досліджують на збіжність числові ряди.

 П.3. Знайти інтервал збіжності ряду .

Роз-ня. D: .

 Далі , або . Дослідимо збіжність на кінцях інтервалу.

При маємо числовий ряд . Перевіримо, чи виконується для нього необхідна ознака збіжності, тобто чи . Для цього застосуємо формулу Стерлінга , яка застосовується для великих n.

Ознака виконується , ряд може збігатись.  За ознакою Даламбера маємо  і  ми нічого не можемо сказати про збіжність ряду, тобто ознака Даламбера для цього ряду не працює. Ознака Коші теж (перевірте).

 При маємо знакопереміжний числовий ряд . Перевіримо, чи виконуються для нього умови теореми Лейбніца. Перша умова

Виконується. Друга після скорочень має вид . Послідовність зправа прямує до е , залишаючись весь час < e, а тому друга умова також виконана і при   ряд збігається. Відповідь: .

2.4. Ряди Тейлора і Маклорена

Якщо степеневий ряд збіжний, то його сумою є деяка функція. Поставимо задачу обернену, тобто як розвинути в ряд (2. 17) задану функцію ? Очевидно, що ряди різних функцій будуть відрізнятись лише числовими коефіцієнтами . Вважаючи, що  нескінченно диференційована, знайдемо ці   коефіцієнти.

Нехай    де  - невідомі коефіцієнти.

Знайдемо похідні:   

………………………………………………

Якщо  і всі її похідні визначені в точці , то, беручи , дістаємо