Теорія стійкості. Стійкість лінійних систем. Стійкість систем другого порядку. Класифікація точок спокою

3.4 Стійкість лінійних систем

Розглянемо лінійну однорідну систему диференціальних рівнянь

 ,                                              (3.16)

стійкість розв'язань якої будемо досліджувати, досліджуючи на стійкість точку спокою системи. Запишемо систему (3.16) у матричному виді

                                                          (3.17)

думаючи

, , .

Якщо матриця P(t) неперервна при , то з теореми існування й одиничності маємо, що система (3.17) має єдине розв'язання, що задовольняє заданим початковим умовам

,                                                        (3.18)

і єдину нормальну фундаментальну матрицю , причому вона не залежить від початкових умов (3.18) ( ). При цьому розв'язання задачі (3.17-3.18) має вигляд

.                                                   (3.19)

Звідси маємо, що питання стійкості точки спокою системи однозначно вирішується за структурою елементів фундаментальної матриці .

Теорема 1. Якщо при  матриця  обмежена, то точка спокою системи (3.16) стійка, якщо , то точка спокою системи асимптотично стійка, якщо матриця  при  не обмежена, то точка спокою нестійка.

Доведення. Виходячи із властивостей матриці , розглянемо наступні випадки:

1) матриця  обмежена при , тобто число М>0, таке, що

 при .                                  (3.20)

Тоді для будь-якого розв'язання  системи (3.17) при  вірна нерівність

,                                         (3.21)

у наслідок якої  (3.22) при , як тільки  (3.23), тобто розв'язання  системи (3.17) стійко. Якщо постійна  в (3.21) не залежить від , тобто оцінка (3.22) рівномірна по , тоді точка спокою системи (3.17) рівномірно стійка.

2) Якщо , то матриця  обмежена при , і, отже, розв'язання  стійке. Крім того, з (3.19) маємо, що  для будь-якого розв'язання . Тому розглянуте розв'язання  системи рівнянь (3.17) асимптотично стійке.

3) Якщо матриця  необмежена при , тобто існує така зростаюча числова послідовність , , , що . Тоді згідно (3.19) розв'язання буде нестійке, тому що хоча б для одного елемента  матриці  виконується співвідношення

.                                                     (3.24)

Отже, , а це значить, що точка спокою системи нестійка.

Можна довести й зворотні твердження. Доведемо, що зі стійкості точки спокою системи витікає обмеженість матриці . Тоді, по визначенню стійкості, для  , що як тільки , то  при . Тоді, згідно (3.19), при

.                                                        (3.25)

Звідси маємо, що матриця  обмежена, тому що в противному випадку існувала б така послідовність , що

,

а це суперечить нерівності (3.25).

Якщо точка спокою асимптотично стійка, те, звідки згідно (3.19) маємо .

Якщо точка спокою нестійка, то матриця  необмежена, тому що в противному випадку точка спокою була б стійкою.

Приклад 1. Установити стійкість системи

,  .

Розв’язання.Складемо фундаментальну матрицю системи

.

Ця матриця обмежена, тому що, згідно (3.20)

.

Тоді досліджувана система стійка.

Приклад 2. Дослідити стійкість системи

,    .

Розв’язування. Складемо фундаментальну матрицю :

.

Тоді . Тоді досліджувана система асимптотично стійка.

Приклад 3. Установити стійкість системи

,       .

Розв’язання. Складемо фундаментальну матрицю :

,

тоді

.

Тоді досліджувана система нестійка.

3.5 Стійкість лінійних автономних систем

У попередньому пункті ми встановили умови стійкості розв'язань лінійних систем, наклавши обмеження на фундаментальну матрицю. Отримані там критерії виявляються ефективними тільки в тих випадках, коли така матриця знайдена в явному виді, наприклад, у випадку лінійних систем з постійними коефіцієнтами. У цьому випадку матриця  – постійна, і система має вигляд:

 .                                           (3.26)

З теорії систем лінійних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами відомо, що фундаментальна система розв'язань такої системи завжди може бути побудована з елементарних функцій, При цьому частинне розв'язання системи шукаємо у вигляді

 , .

Характеристичні числа  є коріннями характеристичного рівняння

.                                                      (3.27)

Розглянемо окремі випадки.

1) Всі корені характеристичного рівняння (3.27) мають від’ємні дійсні частини (тобто або дійсних корені від’ємні, або комплексні корені мають від’ємну дійсну частину).

Якщо покласти, що всі корені  дійсні, різні й від’ємні, то всі розв'язання  прагнуть до нуля при , тобто

.

Якщо , , то, з огляду на що

,

то  (тому що ).

Якщо  є від’ємним коренем кратності , то йому відповідають розв'язання

,