Теорія поля. Властивості векторних полів. Електромагнітне поле. Нестаціонарні поля. Системи Максвела для електромагнітного поля, страница 5

Хто цікавиться детальним обгрунтуванням і доведенням цих формул, може звернутися до підручника: Смирнов В. И. Курс высшей математики. Том второй. “Наука”. М.1974.с. 377.

П.3. Знайти градієнт скалярного поля .

Розв. З вигляду функції  робимо висновок, що поле задане в циліндричній системі координат, а тому для знаходження градієнта застосовуємо (13.5). Обчислимо координати градієнта.. Підставимо це в (13.5).

  . Це і є відповідь.

            П.4. Обчислити дивергенцію векторного поля .

Розв. З вигляду функції  робимо висновок, що поле задане в сферичній системі координат, а тому для знаходження дивергенції застосовуємо (13.9). В нашому випадку . Підставимо це в (13.9) і обчислимо похідні.

 =. Це і є відповідь.

Нестаціонарні поля. Система Максвела для електромагнітного поля

До сих пір ми рознлядали стаціонарні поля, тобто поля які  залежали тільки від  координат   точки простору і не змінювалися з плином часу. Але ж ми живемо в реальному світі, який існує в просторі і в часі. Якщо з часом змінюються характеристики тих об’єктів, які утворюють те чи інше поле, то з часом змінюється і саме поле. Одні зміни проходять занадто повільно, наприклад гравітаційне та магнітне поле Землі, інші – швидше, наприклад поле розподілу температури в Землі, ще швидше змінюється поле розподілу температур чи тиску в Земній атмосфері. В минулому столітті людство скористалось зміною поля в часі для передачі  полем інформації. Ціленаправлена зміна в часі і просторі електричного і магнітного поля  зробила революцію в житті людства. Закони класичної теорії електромагнетизму для однорідного та ізотропного середовища сформулював Максвел у вигляді системи диференціальних рівнянь

 Тут – вектори напруженості  електричного і магнітного полів;

* –  коефіцієнти електричної і магнітної проникливості середовища;

с – швидкість світла у вакуумі.

            Звичайно замість в цій системі замість векторного і скалярного добутку згідно з викладеним в лекції 11 ми можемо написати , але спробуємо користуючись операторами Набла і Лапласа, одержати диференціальне рівняння для  (з виключеним ) і для (з виключеним ).

            Продиференціювавши (13.11) по t одержимо . Із (13.12) знаходимоі підставивши в вище отриманий вираз, одержимо:

, або після очевидних перетворень.

Права частина  , для якої в лекції 12 ми зробили таке перетворення = ( див.12.16). Але ж з (13.13), тому .

Це векторне диференціальне рівняння рівносильне трьом скалярним

,

,                                                 (13.15)

.

Це  диференціальні рівняння в частинних похідних другого порядку. Вони носять назву хвильові рівняння. Розв’язком таких рівнянь займається одна з надзвичайно серьозних математичних дисциплін – математична фізика.

            Так, як система (13.11) – (13.14) симетрична відносно векторів , то  для знаходження вектора напруженості магнітного поля, аналогічними перетвореннями одержимо три скалярнох рівняння ідентичних рівнянням (13.15), лише замість Е всюди стоятиме Н.

Запитання для самоперевірки

1. Дати визначення трубчастого поля і вказати його основні властивості.

2. Вказати основні властивості потенціального поля?

3. Яке поле називається гармонічним? Якій умові задовольняє потенціал такого поля?

4. Яка область називається просторово-однозв’язною?

5. Що ми називаємо векторним потенціалом поля?

6. Чому дорівнює потік електричного поля через сферу, яка обмежує заряд q?

7. Чому дорівнює циркуляція магнітного поля по колу навколо провідника?     

Розв’язати самостійно

13.1. Довести потенціальність полів: а)де радіус вектор точки

                   ;  б)   в) ; г) .

13.2. Знайти скалярний потенціал поля .

          Відп.

13.3. Довести гармонічність скалярних полів: а) де    

         б) .

13.4. Знайти векторний потенціал соленоїдального поля.

          Відп. .