Методичні вказівки до практичних та лабораторних занять з дисципліни "Вища математика", страница 4

4.5. Додаткову літературу можна використати таку:Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического аналмза (издание любое стереотипное) стор. 670-691.

4.6. На практичному занятті використовуються формули, таблиці, теореми.

          1). Означення рядів Тейлора та Маклорена.

Ряд              

 називається рядом Тейлора для .

Справедлива така  теорема.

Т. Ряд Тейлора (Маклорена) для  збігається саме до , якщо існує  таке, що

у деякому околі точки

2) Стандартні розвинення елементарних функцій в степеневі ряди.

 Виконаємо розвинення деяких елементарних функцій у ряди Маклорена.

1.  Нехай . Маємо, , ,…,,…, а тому

…=

Згідно з (4.2) =                              (4.1)

Знайдемо інтервал збіжності цього ряду. За ознакою Даламбера =. Яке б не було х остання рівність завжди виконується, а тому .

2.  Нехай . Тоді   , , ,, …,,… При х = 0 дістанемо , , , … Підставивши в (4.2) одержимо =                     (4.6)

3.  Нехай . Тоді   , , ,, …,,… При х = 0 дістанемо , , , … Підставивши в (4.2) одержимо =                           (4.7)

4.  Нехай маємо . Послідовно  знайдемо похідні

                                                              

                                               

                                    

………………………………….                                     …………………………

            

……………………………………………….                  …………………………………….

Ураховуючи, що   , після підстановки  знайдених коефіцієнтів в (4.2)  одержимо                 (4.8)

Ряд (4.8) називається біномінальним.

3). Формули Єйлера.

      

                 

Дані формули  називаються формулами Ейлера. Вони виражають тригонометричні функції через показникові і навпаки.

3). Застосування степенневих рядів:

-  знаходити значення функцій;

-  знаходити значення границь;

-  знаходити наближення функцій многочленами;

-  інтегрувати функції;

-  розв’язувати диференціальні рівняння;

-  розв’язувати інтегральні рівняння.

4.7. Вправи на засвоєння матеріалу.

1).  Розв’яжемо декілька прикладів:

 ПРИКЛАД 1.

Розвинути в ряд за степенями x функцію .

Розвязання:

Спочатку треба знайти значення функції та її похідних при x=0:

 тому при фіксованому x має місце нерівність для всіх n.

Функція можна представити у формі суми ряду Маклорена:

 у даному випадку питання про збіжність ряду вирішується ознакою Даламбера.

Відповідь:

 ПРИКЛАД 2.

Скласти для функції  ряд Тейлора за степенями  x-2.

Розвязання:

Треба обчислити значення функції f(x) та її послідовні похідні при x=2:

область збіжності одержаного ряду визначемо за допомогою Р.П.К. .

Зведемо  тотожними перетвореннями задану функцію  до формули суми - спадної геометричної прогресії , звідки

, звідси видно, що  тому

=

Відповідь:

ПРИКЛАД  3.

Використовуючи стандартні розвинення в ряди, розкласти за степенями х функцію .

Розвязання:

 Представимо функцію  у вигляді суми двох функцій. Таке представлення можливе бо знаменник дробу можна записати у вигляді добутку двох двочленів

 і потім, застосувавши метод невизначених коефіцієнтів прийдемо до суми. перегрупуємо

. Для знаходження невизначених коефіцієнтів А і В одержуємо систему . Таким чином . Перетворимо ці доданки так, щоб можна було застосувати до кожного з них формулу суми нескінченно спадної геометричної прогресії. =

={область збіжності першого ряду , другого . Зрозуміло, що область збіжності суми буде }=

==

=

Відповідь:  

ПРИКЛАД 4.

Обчислити з точністю до 0,0001.

Розвязання:

Треба скористатися розкладенням  в ряд,  x=0,1, m=1/5.

Маємо

четвертий та інші після нього члени відкидаємо, тому що вони менші ніж 0,0001, ізгідно зтеоремою Лейбніца не впливають на зміну точності.

Відповідь: .

ПРИКЛАД 5.

 З точністю до 0,001 обчислити .

Розвязання:

 Віднімемо від першої формули (4.12) другу