Матричний метод розв'язання однорідних лінійних систем з постійними коефіцієнтами, страница 2

Відзначимо, що з теореми існування й одиничності розв'язань для систем лінійних рівнянь, обумовлених початковими значеннями шуканої функції, випливає за умови неперервності матриці коефіцієнтів P = P(t) на інтервалі (a, b) існування єдиної інтегральної матриці Y(t), що задовольняє початковій умові. (2.85). При цьому існуюча інтегральна матриця Y(t) буде визначена й неперервна на всьому інтервалі (a, b), а за початкове значення матриці можна вибирати будь-яку постійну невироджену матрицю.

Розглянемо деякі властивості інтегральних матриць лінійних однорідних систем.

1. Якщо матриця є інтегральною матрицею рівняння (2.84), то матриця де  ­– довільна постійна невироджена матриця  теж є інтегральною матрицею цього рівняння.

Справді, продиференціємо матрицю по t, з огляду на, що одержимо:

або

                                                    (2.86)

З останнього маємо, що матриця є інтегральна матриця рівняння (2.84).

2. Якщо на інтервалі (a, b) неперервності матриці коефіцієнтів P(t) рівняння (2.84) відома інтегральна матриця , то всі інтегральні матриці, зазначені на цьому інтервалі, виражаються формулою:

                                                            (2.87)

де C - довільна постійна невироджена матриця.

Дійсно, нехай  – інтегральна матриця рівняння (2.84), що задовольняє початковій умові де  – будь-яка невироджена матриця. Покажемо, що розглянута інтегральна матриця  може бути отримана з інтегральної матриці Y, обумовленою формулою (2.87), що відповідає вибором постійної матриці C. Для цього покладемо в (2.87) і . Тоді:

звідки:

                                                     (2.88)

Підставляючи знайдене значення C в (2.87), одержимо:

Тому що ця матриця й матриця  мають ті саме початкове значення , то, у силу теореми одиничності, вони збігаються:

тобто, міститься в (2.87) при C, обумовленою формулою (2.88).

Із проведеного доказу, зокрема з матричної рівності:

маємо, що будь-яка інтегральна матриця Y(t) виражається через відому нормовану в точці інтегральну матрицю по формулі:

                                                     (2.89)

Із другої властивості інтегральних матриць, зокрема, з формули (2.87), маємо, що між різними фундаментальними системами розв'язань відповідної лінійної однорідної системи (2.76) існує зв'язок, обумовлена формулою (2.87), де  й всі фундаментальні системи можуть бути отримані з однієї відомої фундаментальної системи розв'язань.

Задача побудови інтегральної матриці, у загальному випадку матриці коефіцієнтів P(t), є практично нездійсненною задачею. Коротко зупинимося на окремому випадку Лаппо-Данилевського, коли матриця коефіцієнтів P(t) комутирує зі своїм інтегралом

                                                 (2.90)

Цей випадок практично важливий тим, що задача побудови інтегральної матриці здійснюється порівняно просто для нього, і результати безпосередньо поширюються на однорідні лінійні системи з постійними коефіцієнтами.

У розглянутому випадку за інтегральну матрицю візьмемо нормовану в точці матрицю:

                                                         (2.91)

Матриця, що  находиться в показнику експонентної функції (2.91), комутирує, згідно (2.90), зі своєї похідної  тому застосовуємо формулу диференціювання (2.64). Тоді, диференціюючи (2.91), одержуємо:

або

                                                                (2.92)

Розглянемо тепер випадок  тобто розглянемо лінійну однорідну систему диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами. Матричне рівняння (2.84) у цьому випадку приймає вид:

                                                                (2.93)

де постійна матриця задовольняє умові (2.90). Тому інтегральною матрицею, згідно (2.91) і (2.17), буде матриця:

                                                               (2.94)