Марковські процеси. Використання Марковських процесів для систем масового обслуговування, страница 2

Наприклад, якщо система в початковий момент , могла , те

при .

Якщо всі потоки стаціонарні , то існує кінцевий режим, що характеризується, імовірностями і система (8) має вигляд лінійного алгебраїчного рівняння.

(12.11)

2. Використання теорії Марковських процесів для систем масового обслуговування.

Системою масового обслуговування називається будь-яка система, що призначена, для обслуговування якогось потоку заявок (на приклад ремонтна майстерня, телефонна станція, квиткова каса і т.п.)

Системи масового обслуговування підрозділяються, на системи з відмовленнями і системи з чеканням.

У системі з відмовленнями заявка, що прийшла в той момент, коли всі канали обслуговування зайняті, одержує відмовлення і залишає систему.

У системі з чеканням, така заявка, не залишає систему, а стає в чергу й очікує поки не звільниться який ні будь канал. Час чекання і число місць у черзі можуть бути як нескінченними , так і обмеженими .

Можна показати, що в будь-якому випадку процес, що характеризує систему в момент буде однорідним Марковським. Якщо — час обслуговування якоїсь заявки, то воно має показовий розподіл з параметром

(12.12)

нехай у момент у системі було заявок. Якщо серед них обслуговується , то час до закінчення обслуговування кожної заявки не залежить від часу їхнього надходження і має показовий розподіл таке точно як . Далі, час до приходу чергової заявки не залежить від того, як давно прийшла попередня заявка.

Одержимо для марковського процесу, що описує систему масового обслуговування, систему диференціальних рівнянь Колмогорова.

Робота СМО з відмовленнями визначається наступними параметрами

1. Число каналів .

2. Щільність потоку заявок (параметр показового розподілу послідовності , де час приходу чергової заявки .

3. Щільність потоку обслуговування одного каналу .

, — час обслуговування заявки.

Зауваження. , тобто величина середнього часу обслуговування.

На мал.2 показаний граф станів -канального СМО з відмовленнями. Стан таке, що зайнято рівно каналів з . З цього графа випливають диференціальні рівняння для імовірності станів.

Початкові умови , ,

У початковий момент усі канали вільні.

При режим роботи СМО, для якого імовірності станів визначаються формулами Ерланга:

( — можна обчислити за допомогою таблиць пуасонівського розподілу)

Імовірність, що заявка буде обслуговуватися (не одержить відмовлення) виражається формулою

Для СМО з обмеженням по числу місць у черзі щільності імовірності виражаються формулами

Де

— число каналів обслуговування

— число місць у черзі;

— щільність потоку заявок

— щільність потоку обслуговування однієї заявки

Для системи з чеканням обмежений режим існує тільки при . На кожну заявку, що знаходиться в черзі діє “потік відходів” із щільністю , прирівняної до середнього часу в черзі.

Приклад. Розглядається робота ЕОМ. Середня година безвідмовної роботи ЕОМ дорівнює ; (потік відмовлень з параметром ). Якщо в ЕОМ відбувається збій, то вона зупиняється і ремонтується. Середній час ремонту , потік відновлення **** з параметром ; Визначити імовірність того, що ЕОМ буде працювати в момент , якщо в момент вона працювала.