Криволінійні інтеграли. Методи обчислення криволінійних інтегралів. Інтеграли по замкнутому контуру, страница 3

                                                            (*)

                                                            (**)

Інтеграли  по СА і АС беруться по одній і тій же лінії але в протилежних напрямках, а тому вони рівні за абсолютною величиною, але протилежні за знаком і їх сума дорівнює нулеві. Тому коли ми складемо (*) і (**) то одержимо

+                        (7.10)

Теорема виконується і в тому випадку коли область D розбити на яку завгодно скінченну кількість областей. Для інтегралів по замкнутому контуру застосовують позначення

, або , вказуючи напрям обходу контура.

7.5.Формула Гріна.

 Теорема. Якщо функції P(x,y)  і Q(x,y) неперервні разом зі своїми частинними похідними в замкнутій обмеженій області D, то має місце формула

                                                                             (7.11)

                                                      Доведення.

В площині ХОУ  візьмемо область D , обмежену лінією L. Причому область D така, що прямі, паралельні координатним осям, перетинають її границю L не більше ніж в двох точках рис.7.5. В основі доведення лежить перетворення подвійного інтегралу через криволінійний .

Довівши, що  дорівнює криволінійному інтегралу               Рис. 7.5                 по L ми  доведемо (7.11). Перетворимо  інтеграл .

={внутрішній інтеграл береться від диференціала, а тому =

{в другому інтегралі поміняємо границі інтегрування, а це призведе до зміни його знаку} =. Згідно з формулою (7.5) обчислення криволінійних інтегралів, ці два інтеграли є криволінійні інтеграли =. Контур L(ABCEA) обходить область D у від’ємному напрямку, а тому

.                                                     (*)

Аналогічні міркування приводять нас до того, що =

 }=

=                                               (**)

Замінимо подвійні інтеграли  в (7.11) знайденими (*) і (**)  одержимо , що і треба було довести.

Доведення формули Гріна для неправильної області ґрунтується на розбитті  її на правильні області, доведенні справедливості формули Гріна для кожної з правильних областей, а потім, використовуючи властивості адитивності подвійного і криволінійного інтеграла знаходять суму інтегралів подвійних по областях, криволінійних по кривих, які ці області обмежують.                             

 П.6. Обчислити , де контуром є коло, рух проти часової стрілки.

Розв’язок. Контуром візьмемо коло радіусом R. Тоді рівняння контура : , причому, для того щоб точка обійшла весь контур  повинно змінюватись від   до , а тому маємо  =

. Це є відповідь.

Зауваження. Застосовувати формулу Гріна при розв’язувані цього прикладу ніяк не можна бо підінтегральні функції  P(x,y) i Q(x,y) в точці O(0,0), яка лежить в області D, мають розрив другого роду, а значить подвійний інтеграл буде невластивим. Перевіримо це.         

. Підставимо

 =

={якщо контуром є коло радіусом R, і ми переходимо в полярну систему координат, то границями для  будуть: , границями для  будуть: }=

==={внутрішній інтеграл дорівнює  і в нижній границі одержуємо }. Так, що застосовувати формулу Гріна можна лише при виконанні умов теореми.

Питання самоконтролю

1. Яка задача приводить нас до поняття криволінійного інтегралу по координатах?
2. Яка задача приводить нас до поняття криволінійного інтегралу по довжині дуги?
3. Дайте визначення криволінійного інтегралу першого і другого типу.
4. Запишіть формули обчислення інтегралів  І-го і ІІ-го  типів, якщо крива задана в явному виді .
5. Запишіть формули обчислення інтегралів  І-го і ІІ-го  типів, якщо крива задана в параметричному виді .
6. Як зміняться формули обчислення обчислення інтегралів  І-го і ІІ-го  типів, якщо крива задана в параметричному виді у просторі?
7. Який з інтегралів  змінює знак на протилежний при зміні на протилежний напрямку інтегрування вздовж кривої , а який не  залежить від напрямку інтегрування? 
8. Як орієнтується контур обходу області?
9. Сформулюйте теорему Гріна і запишіть його формулу, яка пов’язує подвійний інтеграл по області D з криволінійним інтегралом по кривій L, яка цю область обмежує.

Розв’яжіть самостійно

1. , де контуром є верхня половина еліпса  x=a cost, y=b sint, рух по ходу годинної стрілки . Відп. .

2. , узятий уздовж параболи, віссю симетрії якої є вісь ОУ від точки О(0,0) до точки А(2,1). Відп.0.

3. де L – перша арка циклоїди . Відп..

4. Застосовуючи формулу Гріна, перетворити криволінійний інтеграл , взятий по замкнутому контуру з додатнім напрямком обходу в подвійний інтеграл по області обмеженій цим контуром. Відп..