Поверхностные интегралы. Поверхностные интегралы первого и второго рода. Векторный анализ. Теорема Остроградского. Теорема Стокса, страница 2

         Аналогично рассматриваются оставшиеся два интеграла. В результате, вычисление поверхностного интеграл 2-го рода сводится к вычислению трех двойных интегралов:

.              (4.5)

         Знак "плюс" здесь выбирается в том случае, если интегрирование происходит по той стороне поверхности, которая обращена в сторону положительных направлений осей Ox, Oy и Oz. Если это не так, то нужно взять знак "минус" у соответствующего интеграла.

         Замечание. Следует иметь в виду, что, поверхностные интегралы 2-го рода (в соответствии с формулой (4.4)) часто записывают в виде

,                              (4.6)

где P=P(x,y,z), Q=Q(x,y,z), R=R(x,y,z) – какие-то функции, заданные на поверхности S.

         Пример 4.2. Вычислить поток векторного поля a=yj через верхнюю часть плоскости x+y+z=2, лежащей в первом октанте
(см. рис. 4.1).

Рис. 4.1

         Решение. Поскольку a_x=0, a_y=y, a_z=0, то

.

Так как уравнение плоскости имеет вид y=2–x–z и нормаль к поверхности образует с осью Oy острый угол (это означает, что cosb>0 и поэтому перед интегралом нужно выбрать знак "+"), то

.

Далее, переходя к повторным интегралам, получим

.

         Пример 4.3. Вычислить поток векторного поля a=zk через внешнюю сторону сферы S: x²+y²+z²=1.

Решение. Поскольку a_x=a_y=0, a_z=z, то

.

Здесь z нельзя выразить однозначной функцией от x и y для всей поверхности интегрирования. Разобьем поверхность на две части, верхнюю S' и нижнюю S'':

       и       .

Тогда

.

Перейдем к двойным интегралам. Так как S' – верхняя часть сферы, нормаль которой на всей полусфере образует с осью Oz острый угол, то

,

где D – круг x²+y²£1.   S'' – нижняя часть сферы, нормаль которой на всей полусфере образует с осью Oz тупой угол, то

,

где D – тот же круг. В результате получаем

.

Перейдя в полярную систему координат, получим

.

Рис. 4.2

         Пример 4.4. Вычислить поток векторного поля a=2xi–yj через часть поверхности цилиндра S: x²+y²=R², x³0, y³0, 0£z£H, в направлении внешней нормали (см. рис. 4.2).

Решение. Поскольку a_x=2x, a_y=–y, a_z=0, то

.

Поскольку S_yz является прямоугольником размера R´H и S_xz – точно такой же прямоугольник, то оба интеграла в последнем выражении являются одинаковыми. Поэтому можно написать

.

5. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

5.1. Теорема Остроградского

Особый интерес представляет случай, когда вычисляется поток через замкнутую поверхность. Обычно в таких случаях за положительную сторону поверхности принимают ее внешнюю поверхность. Поверхностный интеграл в этом случае обозначается следующим образом:

.

Теорема Остроградского-Гаусса. Поток векторного поля a(r) через замкнутую поверхность S, находящуюся в этом поле, в направлении ее внешней нормали, равен тройному интегралу по области V, ограниченной этой поверхностью, от дивергенции этого векторного поля, т.е.

.                                     (5.1)

Здесь

                                (5.2)

и называется дивергенцией векторного поля a.

         Пример 5.1. Вычислить поток векторного поля

a=x³i+y³j+z³k

через сферу S: x²+y²+z²=R².

Решение. Воспользовавшись формулой Остроградского-Гаусса, получим

.

Откуда, вводя сферические координаты, получим

.

         Пример 5.2. Вычислить поток векторного поля

a=x³i+y³j+R²zk

через поверхность S: .

Решение. Поскольку diva=3(x²+y²)+R², то формуле Остроградского-Гаусса получаем

Перейдем к цилиндрическим координатам

окончательно получаем

R = pHR⁴.

5.2. Теорема Стокса

Особое значение в математике и ее приложениях играют криволинейные интегралы по замкнутой кривой (контуру). Такие интегралы называются циркуляциями и обозначаются

.

         Теорема. Циркуляция дифференцируемого векторного поля aпо произвольному кусочно-гладкому замкнутому контуру L равна потоку вектора rota через поверхность S, ограниченную контуром L:

                                  (5.3)

Здесь

.                                 (5.4)

и называется ротором векторного поля a. Отметим, что единичный вектор n нормали к поверхности S направлен в такую сторону, чтобы обход контура L происходил в положительном, по отношению к n, направлении.

         Пример 5.3. Вычислить ротор векторного поля a=x²y³i+j+zk в точке M(1;1;1).

Решение. Записываем

.

Таким образом,

.

         Пример 5.4. Вычислить циркуляцию векторного поля a=x²y³i+j+zk по окружности L: x²+y²=R², z=0.

Решение. Поскольку rota=–3x²y²k, то по теореме Стокса получаем

.

Такой же получится ответ, если непосредственно вычислить криволинейный интеграл .