Кинематика материальной точки. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой

Страницы работы

Содержание работы

Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

Кафедра общей и технической физики

Расчетно-графическое задание

Тема: «Кинематика материальной точки»

Вариант 23

Выполнил:    студент гр. БА-02         ________________       /Михалов А.И./

                                                                                                            (подпись)                                      (Ф.И.О.)

Проверил:     доцент                          ________________        /Смирнова Н.Н./

                        (должность)                                                      (подпись)                                        (Ф.И.О.)

Санкт-Петербург

2003


1.  Формулировка задания.

Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось x) имеет вид,  

Найти:

1. Путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от t1=2.2с до t2=10с.

2. Среднюю путевую скорость V за тот же интервал времени.

3. Среднее значение ускорения.

4.  Координату материальной точки  в момент времени t1 и t2

Построить графики зависимостей величин V(t), а(t) при изменении времени.

Краткое теоретическое содержание.

Основные определения

Исходное уравнение – х=f(t)=7+3t-0,02t3 – уравнение зависимости координаты от времени. Данное уравнение является уравнением прямолинейного движения, т.к. изменяется только одна координата.

Материальная точка – тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием до других тел.

Путь (S) – расстояние по траектории (от начала движения до данной точки). [S]=м

Скорость () – векторная величина, которая определяет как быстроту движения, так и его направление в данный момент времени. Скорость – это первая производная радиус-вектора по времени. [V]=м/с

Среднепутевая скорость () – физическая величина, которая определяется отношением пути, пройденного точкой, к промежутку времени.

Ускорение () – векторная физическая величина, определяющая быстроту изменения скорости по модулю и направлению. Ускорение – это вторая производная радиус-вектора по времени, или первая производная скорости по времени. [a]=м/с2

Среднее ускорение (аср) - физическая величина, которая равна отношению изменения скорости к интервалу времени.

Равнозамедленное прямолинейное движение – движение, при котором скорость материальной точки за равные промежутки времени изменяется на одну и тужу величину, причём направления вектора скорости и ускорения противоположны.)

Основные формулы, применяемые в работе.

1.  Путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от t1до t2:

Для определения пути разобьем  его на два, т.к. при изменении знака проекции скорости, точка изменяет направление движения и начинает двигаться в обратном направлении:

S=S1+S2;

  где  S1- путь, пройденный материальной точкой за время t max-t 1;

S2 - путь, пройденный материальной точкой за время t 2-t max;

   t max– время в момент возврата материальной точки (когда точка начинает двигаться в обратном направлении: путь возрастает, а координата материальной точки убывает).

Чтобы найти формулы вычисления S1 и S2, схематично изобразим данное движение:

 


Рисунок 1.

Из данного рисунка видно, что путь равен приращению координаты:

S1=xmax-x1;

S2=xmax-x2;

   где  x1,x2 – координаты точки в моменты времени t 1  и t 2 соответственно;

xmax – максимальная координата, которую материальная точка достигает в момент, когда начинает двигаться обратно (скорость меняет знак).

 

2.  t max определяется приравниванием к нулю первой производной от координаты по времени, т.к. по свойству максимума в точке, в которой функция х=f(t) максимальное значение, первая производная этой функции равна нулю. Т.к. при данном движении все переменные изменяются только по координате Х, то приращение (дифиренцал)  радиус-вектора равно приращению (дифиренцалу) координаты ():

3.  Средняя путевая скорость Vср за тот же интервал времени (в соответствии с определением):

4.  Среднее значение ускорения (в соответствии с определением):

Т.к. скорость равна отношению приращения радиус вектора к интервалу времени, за которое это приращение произошло, то можно записать данную формулу следующим образом:

Решение:

Данное кинематическое уравнение движения материальной точки  соответствует равнопеременному движению.

3.1.  Координаты материальной точки в моменты времени t 1 и t 2 определяются подстановкой соответствующих значений моментов времени:

3.2.  Для определения момента возврата найдём первую производную от координаты по времени.

*  

*   Чтобы определить момент возврата приравняем полученное выражение к нулю.

*

3.3.  Время в момент возврата материальной точки:

3.4.  Максимальная координата

Подставив, значение момента возврата материальной точки в уравнение координаты определим:

3.5.  Путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от t1до t2:

S=2* xmax-x2- x1.

<S>=2*18.5-13.3-7=16.8м

3.6.  Средняя путевая скорость Vср за тот же интервал:

3.7.  Среднее значение ускорения:

3.8.  Графики зависимостей величин V(t), а(t):

Уравнение зависимости скорости от времени уже найден в пункте 3.2 (). Он представляет собой  ветвь перевернутой параболы

График зависимости скорости от времени.

 

Потому что  точка меняет  направление движения в момент времени t=5,77 с., график зависимости скорости от времени пересекает ось Х.   


Найдём уравнение мгновенного ускорения в произвольный момент времени t. Для этого возьмём вторую производную от координаты x:

 

График зависимости а(t) представляет собой прямую. .


                 Вывод: В расчетно-графическом задании “Кинематика материальной точки” рассматривалось  движения материальной точки по прямой. В результате решения я нашёл:

1.  <S>=16,8 м

2. 

3. 

4.  X1=13,3 м; X2=7 м

Построенные графики отображают  зависимость а(t) и V(t).

Похожие материалы

Информация о работе

Предмет:
Физика
Тип:
Расчетно-графические работы
Размер файла:
161 Kb
Скачали:
0