Заряженная частица в однородной потенциальной яме

Страницы работы

Содержание работы

Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

Вариант 5

По дисциплине:                                          Физика

Тема:                    Заряженная частица в однородной потенциальной яме

Выполнил: студент  гр. НБ-03     ________________     / Горный Т.В./

                                                                                                     (подпись)                                   (Ф.И.О.)

ОЦЕНКА: ______________

Дата: __________________

ПРОВЕРИЛ:

Руководитель:          _________________            / Смирнова Н.Н./

                                                                     (подпись)                                                  (Ф.И.О.)

Санкт-Петербург

2005 г.

Формулировка задания:

         Заряженная частица, движется в однородной потенциальной «яме» шириной l с бесконечно высокими «стенками» при термодинамической температуре T. Уравнение Шредингера имеет вид:

 

         Решить уравнение Шредингера для частицы находящейся внутри однородной потенциальной «ямы».

Построить графики зависимостей:

1. Полной энергии от главного квантового числа.

2. Вероятность обнаружения частицы внутри «ямы».

Параметры частицы:

- потенциальная энергия частицы

- кинетическая энергия частицы

 - ширина однородной потенциальной ямы

- термодинамическая температура

Вариант

Частица

Eп, эВ

Ек, эВ

l, пм

Т, К

5.

121Sb+

?

320

0,3

?

Краткое теоретическое содержание:

Явление, изучаемое в расчетно-графической работе - волновые функции частиц, определяющих состояние частиц, движущихся в различных силовых полях, определяются с помощью уравнения Шредингера.

Собственные значения энергии – это избранные значения энергии, при которых дифференциальное уравнение (1) имеет решение.

Собственные функции задачи – решения, соответствующие собственным значениям энергии.

Спектр величины – совокупность собственных значений.

Дискретный спектр – совокупность собственных значений, образующих дискретные значения.

Сплошной (непрерывный) спектр – собственные значения, образующие непрерывную последовательность.

         Уравнение Шредингера позволяет найти волновую функцию данного состояния и определить вероятность нахождения частицы в различных точках пространства

    (1)

 - координатная (амплитудная) часть волновой функции;

m – масса частицы [кг];

Е – полная энергия частицы [Дж];

U – потенциальная энергия [Дж];

1,05∙10-34 Дж∙с - постоянная Планка

         Стенки потенциальной ямы считаются непроницаемыми и находящимися на оси х в точках  и , движение частицы в яме одномерное.

         За пределы ямы частица выйти не может, поэтому вероятность обнаружения частицы

вне ямы равна 0. Из условия непрерывности следует, что  должна быть равна нулю и на границах ямы, т.е. что

В области, где  не равна тождественно нулю, уравнение (1) имеет вид

В этой области . Вводим обозначения . Получим уравнение .

Решение такого уравнения имеет вид , где А – константа

Из условия  получаем:

Также должно выполняться условие:

где - главное квантовое число

Собственное значение энергии частицы:        (2)

Спектр энергии – дискретный. Схема энергетических уровней будет выглядеть:

 


В соответствии со смыслом волновой функции вероятность того, что частица окажется в пределах объема dV равна .

Для нахождения коэффициента А воспользуемся условием нормировки:

На концах промежутка интегрирования подынтегральная функция обращается в 0. Поэтому значение интеграла можно получить, умножив среднее значение  (равное 1/2) на длину промежутка . Получим: , откуда .

Таким образом собственные функции имеют вид: (3)

Термодинамическую температуру находим из формулы:     (4)

 - средняя кинетическая энергия молекулы;

i – число степеней свободы

(i=3 для одноатомной молекулы, i=5 для двухатомной и i=6 для трех- и более атомной молекулы);

В нашем случае , поскольку   121Sb+  - одноатомная молекула

– постоянная Больцмана;

Т – термодинамическая температура, [K].

Решение:

С помощью уравнения (2) находим полную энергию:

  

В нашем случае: 121Sb+, ,

Поскольку , то:

С помощью уравнения (4) находим термодинамическую температуру:

Поскольку   121Sb+  - одноатомная молекула -

Из уравнения (3):

Из уравнения (2):

Вероятность обнаружения частицы в координате х в одномерной потенциальной яме:

 Проверка размерности:

Графический материал:

1. График вероятности обнаружения частицы в потенциальной яме:

0

0

0.01

7

0.02

0

0.03

6

0.04

1

0.05

6

0.06

1

0.07

5

0.08

2

0.09

4

0.1

3

0.11

3

0.12

4

0.13

2

0.14

5

0.15

1

0.16

6

0.17

1

0.18

6

0.19

0

0.2

7

0.21

0

0.22

7

                                                                                                                                             

2. График зависимости полной энергии от главного квантового числа:

1

0.3

2

1.2

3

2.7

4

4.8

                                               

Вывод: заряженная частица 121Sb+, движется в однородной потенциальной «яме» шириной  с бесконечно высокими «стенками» при термодинамической температуре . Ее кинетическая энергия , а потенциальная . В ходе проделанной работы были построены графики зависимости полной энергии от главного квантового числа и вероятности обнаружения частицы в потенциальной яме. Из графика вероятности обнаружения частицы в потенциальной яме можно сделать вывод, что частица не может быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем она одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы.

Похожие материалы

Информация о работе

Предмет:
Физика
Тип:
Расчетно-графические работы
Размер файла:
185 Kb
Скачали:
0