Економетрика: Навчальний посібник (Уведення. Розділ "Моделі з двома перемінними"), страница 7

характеризує відхилення перемінної Y від розміру ў, вычи-сленной по функції регресії (1.2), і називається возму-щением (возмущающей перемінної). Вона включає вплив неврахованих чинників - переменных, випадкових перешкод і помилок спостережень. Її значення змінюється для кожного спостереження. З (1.2) і (1.3) випливає, що залежну перемінну Yможна представити у виді

Y = f (X, a0, a1, …, аm) + U,                          (1.4)

де а0, a1,  ..., am - невизначені коефіцієнти. Такий вид запису дозволяє також інтепретувати випадкову перемінну U як враховуючу неправильну специфікацію функції регресії, тобто  неправильний вибір форми рівняння, що описує шукану залежність. Завдяки уведенню випадкової перемінної U, перемінна Yтакож стає випадкової, оскільки при заданих значеннях Х їй не можна поставити у відповідність тільки одне визначене значення. У той час як дослідник має у своєму розпорядженні значення объяс-няет і объясняющей перемінних    спостережень , що у результаті спільних , над ними,значення возмущающей перемінної U безпосередньо одержати не можна, оскільки вона являє собою конгломерат багатьох що важко враховуються і випадкових впливів. Лише після кількісної оцінки функції регресії можна знайти значення возмущающей перемінної U.

Третє припущення полягає в можливості оценивания параметрів а0,  а1,…,аm функції регресії (1.2). Класичний регресійний аналіз оцінок …, параметрів a0, a1, ..., аm рівняння регресії (1.4) заснований на методі найменших квадратів (див. § 1.5), що устанав-ливает деякі обмеження на вид функції регресії:

а) параметри а0, а1,…,аm повинні входити у вираження для функції регресії в рівнянні (1.4) линейно, тобто

Y = а0 + а1 f1(X) + ... + am fm (X) + U ;                  (1.5)

  б) якщо в якості вихідній моделі обрана нелінійна щодо параметрів модель, то передбачається, що й обурення U входить у неї нелінійно:

Y = f (X, a0, a1,…,am,U)...                     (1.6)

Крім того, повинне існувати деяке перетворення над рівнянням (1.6) таке, що

g (Y) = g (f (X, a0, a1,…,am,U))=+g1(X)+.....+ gm (X) + U.

Тоді рівняння

 =  + g1(X) + ... + gm (X) + U        (1.7)

буде лінійним (щодо параметрів і обурення) урав-нением моделі. Нелінійне рівняння (1.6) ідентично исход-ной моделі; лінійне регресійне рівняння (1.7) є найважливішою складовою частиною перетвореної оцінюваної моделі. Часто виконуваними перетвореннями є, наприклад, логарифмування і знаходження зворотного значення.

Приклад 1 Нехай необхідно охарактеризувати зависи-мость врожайності Y деякої сільськогосподарської культу-ры від кількості Х внесених добрив. У даному випадку в якості однофакторной виробничої функції можна вибрати функцію виду

 =a0 + a1 X - a2 X2   (a0>0,   a1>0,   a2>0).            (1.8)

При відсутності добрив уро-жайность складає а0 одиниць. З увели-чением кількості внесених удобре-ний відбувається спочатку зростання врожайності, і в крапці  Х = Х0 вона дос-тигает найбільшого значення. Дальней-шее нарощування витрат добрив виявляється нерозумним. Воно приводить до зниження врожайності і навіть повній її втраті при Х = Х1 (мал. 1.2).

Функція регресії (1.8) залежить від невідомих коэф-фициентов а0, а1, а2  линейно і, отже, відповідно до (1.5) зв'язок випадкових перемінних Y і X необхідно задати у виді

Y = a0 + a1X - a2X+ U,                             (1.9)

де U - випадкове обурення.

Приклад 2 При моделюванні ситуацій, у яких ріст витрат Х деякого ресурсу R веде до необмеженому увели-чению випуску Y, може бути використана статечн виробнич функці

    (а0  > 0,   а1 > 0).                      (1.10)

Наскільки швидко зростає випуск Yзави-сит, мабуть, від розміру параметрів а0 і а1. При а1 > 1 статечна функція (1.10) є опуклої, при a1 < 1 - увігнутої (мал. 1.3).

Вихідна модель (1.10) – нелиней-на щодо параметрів а0 і а1. У цьому випадку відповідно до (1.6) і (1.7) необ-ходимо покласти