Економетрика: Навчальний посібник (Статистичні методи аналізу й обробки спостережень), страница 7

Після того як отримана деяка оцінка (наближене значення )  параметра q, виникає питання: наскільки вона точ-на, тобто як близько до q? Таким чином, що випливає етапом для нас повинно бути побудова міри точності цієї оцінки.

Будь-яка оцінка  як статистика вибірки є випадковою величиною, і, мабуть, її відхилення від генерального параметра q також буде випадковим. Отже, питання про оцінку цих відхилень носить вероятностный характер, а саме: для довільного числа  можна вказати лишь імовірність p, таку, що

                          (2.56)

 Імовірність, що тут фігурує, p називається  довірчої (100p%) імовірністю, а  інтервал - довірчим (100p%) інтервалом, чи довірчою оцінкою.

Отже, будь-яка статистична оцінка є оцінка виду

                                   (2.57)

де  і  - деякі випадкові числа. При побудові интервальных оцінок виду (2.57) використовуються квантили випадкових величин.

Квантилем к_p розподілу випадкової величини  з функцією розподілу F(x) називається рішення рівняння

F(k_p) = p,                                    (2.58)

т. е. квантиль к_р є таке значення випадкової величини, що

                                (2.59)

Деякі часто зустрічаються квантили носять спеціальні назви. Так, квантили до_0,1, до_0,2, ..., до_0,9 називають децилями, квантили до_0,01, до_0,02, ..., до_0,99 - процентилями. Найбільш важливе значення має квантиль , називаний медіаною розподілу.

Квантили стандартного нормального розподілу позначаються через u_p. Їх легко знайти безпосередньо з таблиці додатка А. Якщо  те, підбираючи таке х, для якого ми знайдемо, що  Якщо ж  те підбирають таке х, для якого і тоді u_p = x. Наприклад, 40% квантиль u_0,4=-0,25, 95% квантиль u_0,95=1,64. Для зручності користування деякі часто уживані квантили стандартного нормального розподілу приводяться в таблиці додатка Б.

Квантиль x_p загального нормального розподілу з параметрами  a і  виражається через квантиль u_p стандартного розподілу по формулі (2.35)

 

Наприклад, 95% квантиль для нормального розподілу з параметрами а = 4,  дорівнює

x_0,95 = 4 + 0,5·1,64 = 4,82.

Поняття квантиля використовується не тільки для нормального, а і для інших розподілів: Стьюдента, Пирсона, Фишера і т.д. Якщо відомі два квантиля кs і кq довільні розподіли, то, мабуть,

                                      (2.60)

Сформулюємо тепер зворотну задачу : по заданій імовірності р визначити довірчий інтервал. Очевидно, у такій постановці ця задача має незліченну безліч рішень - імовірності р відповідає будь-як оцінка виду  де  Однак якщо в якості квантилей вибрати симетричні відносно  квантили  і  те довірчий 100% інтервал

                                (2.61)

буде уже визначатися однозначно.

У додатках, у зв'язку з перевіркою різних статистичних гіпотез (див. § 2.5), довірчу імовірність р представляють у виді  де  - рівень значимості. У даному випадку  - імовірність події, протилежного події (2.61). При заданому рівні значимості  з (2.61) одержуємо

                     (2.62)

На мал. 2.7 представлений зв'язок між квантильны-ми границями ,  і довірчої вероятно-стью  у випадку, якщо випадкова величина  має симетричний розподіл з нульовою медіаною (наприклад, стан-дартное нормальне рас-пределение чи распреде-ление Стьюдента).

           Тому що  те   З умови симетрії видно, що  Площа заштрихованої фігури дорівнює довірчої імовірності

Отже, у випадку симетричних розподілів    (мал. 2.7) 100(1- )% довірчий інтервал має вид

                                 (2.63)

Довірча оцінка генерального параметра.Потрібно побудувати довірчу оцінку генерального параметра q (щирого результату спостережень, щирого значення деякого параметра, математичного чекання досліджуваного розподілу). Нехай - обрана за якоюсь методикою крапкова оцінка параметра q, і вона лінійно залежить від результатів спостережень  Тоді випадкова величина має той же тип розподілу, що і випадкові величини  Якщо з якихось розумінь уста-новлено, що можна прийняти нормальний закон розподілу для , те це означає, що й оцінка задовольняє нормаль-ному закону  ~ НАДАЛІ це і припускаємо.

Розглянемо основні задачі оцінювання невідомих параметрів, що виникають при обробці спостережень.

Задача 1 Оцінка параметра q при відомій дис-персии .Припустимо, що за результатами попередніх спостережень дисперсія  відома. Тоді, згідно (2.44), статистика  ~ і, з огляду на (2.63), знаходимо