Економетрика: Навчальний посібник (Статистичні методи аналізу й обробки спостережень), страница 6

На мал. 2.5 приведені графіки щільності t-розподілу при різних значеннях r. Вони якісно нагадують за формою щільність стандартного нормального розподілу і наближаються до нього при ; випадок відповідає закону N(0,1). Однак при невеликих r ці криві при збільшенні  значно повільніше зближаються з віссю абсцис, чим у випадку N(0,1). Тому роль розподілу Стьюдента особливо велика в статистику малих вибірок. У силу симетрії відносно прямої t = 0 мода, медіана і математичне чекання збігаються і дорівнюють нулю, дисперсія

   r > 2.

Відзначимо, що при r = 1 розподіл Стьюдента має вид розподілу Коші (2.15). Таким чином, при  розподіл Стьюдента приймає всі проміжні положення між розподілом Коші і стандартний нормальний розподіл.

Побудуємо конкретні статистики Стьюдента. Нехай неко-торая оцінка  параметра qлинейна за спостереженнями, тобто

 .

У цьому випадку справедливо наступне твердження :

 ~ ~ ,                  (2.42)

причому згідно (2.25), (2.32)

,   ;                (2.43)

 ~ N (0,1).                           (2.44)

Візьмемо в якості -статистики величину (2.37). Можна показати, що введені в такий спосіб перемінні  і  незалежні і, отже, статистика

                          (2.45)

має розподіл Стьюдента, причому, як неважко помітити з (2.43), вона не залежить від генеральної дисперсії .

В окремому випадку, якщо  = s², де  і s² - середнє вибірки і незміщена вибіркова дисперсія, з (2.23) знаходимо  В результаті статистика (2.45) здобуває вид

   r  = n - 1.                          (2.46)

Існує багато таблиць розподілу Стьюдента. У додатку В приведені значення величини , такий, що при

 .                              (2.47)

Розглядаються різні варіанти значень a і числа ступенів волі r.

F - розподіл (розподіл Фишера). Нехай дві випадкові величини і  мають -розподіл з r₁ і r₂ ступенями волі відповідно. Розподіл величини

                                 2.48)

називається чи F-розподілом розподілом Фишера з r₁ і r₂  ступенями волі. З (2.48) випливає, що

                         (2.49)

Щільність розподілу Фишера

де В - бета-функція. При r₁ > 2 це унимодальное (одновершинне) розподіл з модою в крапці ; його характеристики:                 при r₂ > 2,

 при r₂  >  4.

На  мал.2.6   приведені  графіки  f(x)  при  сполученнях    (r₁, r₂) = (10,4) і (10,50). Як і у випадку -розподілу, плот-ность розглядається лише на проміжку (0, + ). Криві мають асиметричну форму.

Універсальність F-розподілу підкреслюється зв'язками з іншими розподілами. При r₁=1, r₂=r квадрат величини F(1,r)  має розподіл Стьюдента з r ступенями волі. Якщо r₁ = r,   то справедлива тотожність

                                (2.50)

Розподіл Фишера має фундаментальну роль у математичній статистиці і з'явилося, у першу чергу, як розподіл відносини двох вибіркових дисперсій.

Нехай дві випадкові величини  і  розподілені  нор-мально за законами  і  відповідно, і нехай  і - незміщені оцінки генеральних дисперсій  і  зі ступенями волі r₁ і r₂. Тоді згідно (2.37) ве-личины  і   мають -розподіл з r₁ і r₂ ступенями волі відповідно. Тепер на підставі (2.48) затверджуємо, що перемінна

                                (2.51)

розподілена за законом Фишера з r₁ і r₂ ступенями волі.

Зокрема, якщо розглядається та сама генеральна сукупність (а₁ = а₂,  і отримані дві різні оцінки  і  для генеральної дисперсії, то з   (2.51) одержуємо  F-розподіл з r₁ і r₂ ступенями волі величини

                                     (2.52)

Стосовно до випадку (2.38), коли   де  і дві вибіркові дисперсії, отримані при різних обсягах вибірок n₁ і n₂ відповідно, одержуємо, що відношення двох вибіркових дисперсій

                                        (2.53)

має F-розподіл з n₁-1 і n₂-1 ступенями волі.

Функція розподілу F(r₁, r₂) табулирована в багатьох довідкових виданнях. У додатку Д приведені таблиці значень величини F_p(r₁, r₂), такий, що

P(F(r₁, r₂) ≤ F_p(r₁, r₂)) = p                     (2.54)

для різних р, r₁ і r₂. Якщо деякі значення не ввійшли в таблиці, то можна використовувати співвідношення

                         (2.55)

2.4 Оцінювання результатів спостережень над нормально розподіленою випадковою величиною