Економетрика: Навчальний посібник (Статистичні методи аналізу й обробки спостережень), страница 2

Для симетричних розподілів усі моменти непарного порядку, так само, як і коефіцієнт асиметрії А, рівні 0. Площа заштрихованої області на мал. 2.1 дорівнює імовірності улучення випадкової величини Х в інтервал ( ). Швидкість убування цієї імовірності в міру видалення від моди залежить від крутості кривої y= f(х). У випадку унимодальных симмет-ричных розподілів чим більше крутість кривої, тим силкува-її убуває імовірність, тобто тим плотней навколо моди (мате-матического чекання) розташовані значення випадкової вес-чини, що володіють досить помітною імовірністю. Характе-ристикой крутості кривої поблизу моди є ексцес Э щільності розподілу

2.2 Вибірковий метод визначення оцінок математиче-ского чекання і дисперсії

Як уже відзначалося вище, результати спостережень завжди є випадковими величинами, а кожне значення, що спостерігається, досліджуваного показника відхиляється від щирого. Помилка спостереження  також є випадкова величина – факти-чески вона є результатом дії випадкових (неучтен-ных) факторів. З цієї причини висновки, зроблені на основі спостережень, не є абсолютно достовірними. Однак ці висновки можуть бути практично достовірними, якщо вони будуть здійснюватися з великою імовірністю (близької до 1).

Оскільки імовірності, зв'язані з випадковими вес-чинами, обчислюються за допомогою функції розподілу, те найважливіша задача математичної статистики, рішення якої дозволило б у принципі вирішити й інші задачі, - це перебування функції розподілу імовірностей досліджуваної випадкової величини. Якщо припустити, що шуканий закон розподілу встановлений, то нерідко він містить один-два невідомих параметрів (будемо називати їх генеральними параметрами). Наприклад, закон Пуассона (2.2) залежить від одного параметра l. Як правило, генеральні параметри связа-ны з числовими характеристиками (математичним чеканням і дисперсією) випадкової величини. Так, у законі Пуассона . Тому виникає необхідність в оцени-вании (наближеному обчисленні) генеральних параметрів.

У главі 1 ми бачили, що рівняння регресії, модели-рующие економічні процеси, залежать від декількох парів-метрів, значення яких заздалегідь невідомі, і методом наі-менших квадратів, наприклад, можуть бути отримані їхні оцінки (наближені значення) по деяких результатах наблю-дений. Проблема оцінювання завжди виникає тоді, коли оп-ределяется значення деякої величини за результатами на-блюдения над однією чи декількома випадковими величинами.

Отже, нехай q - параметр, числове значення якого відомо, і потрібно знайти його оцінку. З цією метою в мате-матической статистиці розроблений вибірковий метод, кото-рый у загальній формі виглядає в такий спосіб. Мається деяка велика сукупність об'єктів, називаних гене-ральной сукупністю.З її витягається n об'єктів, кото-рые утворять вибірку обсягу n. Елементи вибірки подвер-гаются детальному  дослідженню, за результатами якого потрібно описати всю генеральну сукупність (її властивості, характеристики) і знайти оцінку параметра q.

Припустимо, що генеральна сукупність являє собою безліч значень випадкової величини, що спостерігається, (. Потрібно знайти оцінки її генеральних параметрів: математи-ческого чекання а і дисперсії . Випливаючи  вибірковому методу, зробимо вибірку обсягу n і одержимо n значень x₁, x₂, ..., x_n. Якщо розглядати усілякі вибірки заданого обсягу n, то результат будь-якого і-го спостереження, тобто значення x_і, буде випадковою величиною. Отже, кожна статис-тикавибірки - функція виду h(x₁, x₂, ..., x_n) при незмінному обсязі n буде також випадковою величиною. Природно счи-тать, що випадкові величини x₁, x₂, ..., x_nнезалежні між собою і мають той же розподіл, що й основна величина x - адже саме її ми спостерігаємо щораз. Тому вони мають однакові числові характеристики, зокрема,

                (2.16)

Відповідно до вибіркового методу оцінки невідомих парів-метрів розподілу випадкової величини x повинні бути функціями елементів вибірки, тобто статистиками. Для кон-кретной вибірки існує нескінченно багато статистик, до не кожна з них може виступати як оцінку неиз-вестного параметра. Наприклад, вибіркові середнє, чи медіана мода можуть показатися цілком прийнятними для оценива-ния параметра а. Щоб вирішити, яка з можливих статистик є більш придатної для конкретного параметра q, у математичній статистиці висуваються вимоги до оцінки: статистична оцінка повинна бути незміщеної, ефективний і заможної.