Все методы решения СЛАУ делятся на две группы – прямые и итерационные. Прямые методы дают решение после выполнения конечного числа операций. Эти методы достаточно универсальны, но в ряде случаев полученное решение не является достаточно точным. Итерационные методы используют последовательные приближения (итерации) к искомому результату. Они позволяют получить решение с любой заданной точностью, но при их использовании заранее неизвестно количество предстоящих итераций, более того, итерационные методы в некоторых случаях вообще не дают решения.
В данном случае возможно решить систему уравнений (1.2) методом Гаусса. Суть его состоит в следующем. Квадратную матрицу коэффициентов при неизвестных преобразуют в верхне-треугольную матрицу (прямой ход). Для этого сначала первое неизвестное исключают из второго и последующих уравнений системы, затем второе неизвестное исключают из третьего и последующих уравнений и т.д. Таким образом, в последнем уравнении остается только одно неизвестное. Для реализации прямого хода используют следующие известные правила:
– любое уравнение системы можно умножить на постоянный коэффициент;
– можно сложить два любых уравнения системы и результат записать вместо одного из этих уравнений.
На втором этапе последовательно вычисляют значения всех неизвестных, начиная с последнего (обратный ход).
Рассмотрим пример применения метода Гаусса. Пусть имеем систему:
Для исключения первого неизвестного из второго уравнения умножим первое уравнение на (-a 21/ a11), т.е. на –0,5.
Первое уравнение примет вид:
-2 x1 – 0,5 x2 + 0,5x 3 = -1,5
Сложив его со вторым уравнением исходной системы (2.2), получим:
-2,5x2 + 1,5x3 = -0,5
Можно заметить, что неизвестное x1 в данном уравнении отсутствует.
Для исключения первого неизвестного из третьего уравнения системы (1.3) умножим первое уравнение этой системы на (-a 31/ a 11), т.е. на –0,25.
Первое уравнение примет вид:
-x1 – 0,25x2 + 0,25x3 = -0,75
Сложив его с третьим уравнением исходной системы (1.3), получим:
-1,25x2 + 2,25x3 = 4,25
Заметим, что и в этом уравнении неизвестное x1 отсутствует.
Таким образом, система (1.3) примет вид:
4x1 + x2 – x3 = 3
-2,5x2 + 1,5x3 = -0,5 (1.4)
-1,25x2 + 2,25x3 = 4,25
Теперь исключим неизвестное x2 из третьего уравнения системы (1.4), сложив его со вторым уравнением системы (2.3), умноженным на –0,5.
Получаем систему:
 |
4x1 + x2 – x3 = 3
-2,5x2 + 1,5x3 = -0,5 (1.5)
1,5x3 = 4,5
Прямой ход закончен, исходная матрица коэффициентов приведена к верхне-треугольному виду. В третьем уравнении системы (1.5) присутствует только неизвестное x3. Теперь легко осуществить обратный ход, т.е. вычислить неизвестные. Из третьего уравнения вычислим x3, его значение подставим во второе уравнение и вычислим x2, а затем из первого уравнения найдём x1.
Получим ответ: x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3. Задача решена.
Кроме того, при обработке наблюдений часто возникает необходимость сравнить две или несколько выборочных дисперсий [30]. Основная гипотеза, которая при этом проверяется: можно ли считать сравниваемые выборочные дисперсии оценками одной и той же генеральной дисперсии. Обычно требуется выяснить, являются ли выборочные дисперсии s12 и s22 значимо различными или же полученные выборки можно рассматривать как взятые из генеральных совокупностей с равными дисперсиями. Предположим, что первая выборка сделана из генеральной совокупности с дисперсией σ12, а вторая – из генеральной совокупности с дисперсией σ22. Проверяется нулевая гипотеза о равенстве генеральных дисперсий Н0 : σ12 = σ22. Чтобы отвергнуть эту гипотезу, нужно доказать значимость различия между s12 и s22 при выбранном уровне значимости р. В качестве критерия значимости используется критерий Фишера.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.