Задания для самостоятельной работы по дисциплине «Математика»

Страницы работы

8 страниц (Word-файл)

Содержание работы

Задания самостоятельной работы

для студентов специальности  080507.65 – Менеджмент организации,

всех форм обучения

по дисциплине «Математика»

Задание 1

В партии из n=14 изделий k=5 изделий бракованные. Какова вероятность того, что взятые случайным образом m=3 изделий будут бракованными?

Решение

Обозначим через:

А1 – событие, состоящее в том, что первое взятое изделие бракованное;

А2 – событие, состоящее в том, что второе взятое изделие бракованное;

А3 – событие, состоящее в том, что третье взятое изделие бракованное.

Событие, состоящее в том, что взятые три изделия бракованные  есть произведение событий А1 А2 А3.

По теореме умножения вероятностей событий вероятность произведения событий равна произведению их условных вероятностей относительно произведения предшествующих событий:

P(A1A2A3) = P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2).

Вероятность события А1

Условная вероятность P(A2/A1)события А2 при условии, что событие А1 про­изошло

Условная вероятность P(A3/A1A2)события А3 при условии, что события А1 и А2  произошли

Окончательно получаем

Ответ:

Задание 2

Непрерывная случайная величина X, имеющая математическое ожидание Mx=24 и среднее квадратическое отклонение sx=1, распределена по нор­мальному зако­ну. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение из интервала (a, b)=(20, 26) .

Указание: использовать таблицу значений нормированной функции Лапласа

                 – приложение 1. 

Решение

Из свойства функции распределения, вероятность попадания нормаль­но распределенной случайной величины Х в заданный интервал х1 < X < x2 может быть выражена в виде разности значений функции распределения в граничных точках интервала:

Если воспользоваться интегралом

который называется функцией Лапласа, то искомая вероятность через функцию Лапласа запишется в виде

          

Или в обозначениях нашей задачи

Функцию Лапласа нельзя выразить через элементарные функции, по­этому определяют их численные значения, которые помещают в специальные таблицы (см. приложение 1).

Поэтому, сначала вычисляем аргументы функции Лапласа

а затем, используя таблицу приложения 1 для вычисления функции Лапласа, находим искомую вероятность. Учитывая, что функции Лапласа является нечетной, т.е. Ф(–z)= – Ф(z) получаем

Ответ: Р(a< X< b) = Р(20 < X< 26) =0,977218.

Задание 3

Найти несмещенную (исправленную) выборочную дисперсию на основании данного распределения выборки.

xi

2

7

9

10

ni

8

14

10

18

Решение

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой

Выборочную дисперсию тогда можно вычислить на основе выборочного среднего так

Имеем  n = n1+ n2+ n3+ n4 = 8+14+10+18 = 50,

Находим несмещенную (исправленную) оценку дисперсии

Ответ: s2=7,73.

Задание 4

Страховая компания выпустила четыре вида страховых полисов в предположении, что спрос на них будет одинаков. Фактические объемы реализации полисов приведены в таблице.

Оценить для уровня значимости  a = 0,01 согласуется ли фактическая реализация теоретическому предположению о равномерности спроса на все виды страховых полисов?

Указание: использовать таблицу –  приложения 2.

№ полиса

1

2

3

4

Объем реализации

50

21

23

26

Решение

Проверяем нулевую гипотезу о  равномерности спроса на все виды страховых полисов, т.е. полагаем  полагаем теоретические объемы продаж m1Т, m2Т, m3Т и m4Т равными

m1Т= m2Т= m3Т=m4Т=( m1+ m2+ m3 + m4)/4=(50+21+23+26)/4=30.

Составим таблицу

№ полиса

i

1

2

3

4

Фактический объем реализации

mi

50

21

23

26

Ожидаемый объем реализации

miT

30

30

30

30

Рассчитаем значение критерия согласия Пирсона

Для уровня значимости a = 0,01 по таблице c2 -  распределения для числа степеней свободы L = 4 – 1 =3 (L = nr – 1) находим  c2кр = 11,3.

Т.к. для уровня значимости a = 0,01 критическая область представляет собой интервал (c2кр; ¥ ) = ( 11,3; ¥ ), а cr2=18,2  принадлежит критической области, то нулевая гипотеза о   равномерности спроса на все виды страховых полисов отвергается.

Ответ: нулевая гипотеза о равномерности спроса отвергается.

Задание 5

На основании измерений величин X и Y найти выборочное уравнение линейной регрессии Y на X и выборочный коэффициент корреляции.

X

xi

3

5

7

9

10

Y

yi

14

10

9

8

6

Решение

Будем искать линейное выборочное уравнение регрессии Y на X в виде

                    M(Y / X=x) = j(x) = aх + b.

Оценки aи  bпараметров будем находить по методу наименьших квадратов, как минимизацию суммы квадратов уклонения линии уравнения регрессии, вычисленных в точках xi, от опытных данных yi, т.е.

                 

Оценки aи  b, обеспечивающие решение этой задачи, имеют вид

            

             

Составим расчетную таблицу

x

y

x2

xy

y2

3

14

9

42

196

5

10

25

50

100

7

9

49

63

81

9

8

81

72

64

10

6

100

60

36

å

34

47

264

287

477

Определяем

a =(5*287–34*47)/(5*264-342)= – 0,99,

b = (264*47– 34*287)/(5*264 – 342) = 16,16.

Выборочный коэффициент корреляции имеет вид

                      

где выборочные средние квадратические отклонения вычисляются как:

                                 

а  выборочный эмпирический  корреляционный момент

  

где xB и yB  - выборочные средние:

 

В результате имеем

Ответ: j(x) = –0,99х + 16,16;  rB = –0,96.


Приложения

                                                                                               Приложение 1   

Нормированная функция Лапласа 

                                                             Приложение 2

Похожие материалы

Информация о работе

Предмет:
Математика
Тип:
Задания на контрольные работы
Размер файла:
285 Kb
Скачали:
0