1.Функции комплексного переменного.
2.Основные элементарные функции комплексного переменного.
3. Аналитическая функция.
4. Производная ф-ии комплексного переменного.
5. Дифференцируемость функции. Условие Коши-Римана.
6. Связь м/д аналитическими и гармоническими функциями.
7. Интегрирование функции комплексного переменного.
8. Интегральная теорема Коши.
9. Формула Ньютона-Лейбница.
10. Ряды Лорена.
11.Основная теорема о вычетах.
12. Вычисление вычетов функции. Применение вычетов к вычислению интеграла.
13. Нахождение изображения ф-ии.
14. Таблица изображений основных элементарных ф-ий.
15. Отыскание оригинала по изображению.
16. Свертка ф-ии.
17. Изображения производных и интеграла от оригинала.
18. Теорема о дифф. изобраения.
19. Теорема о дифф. оригинала.
20. Теорема об интегрировании интеграла.
21. Теорема об интегрировании изображения.
22. Применение операционного исчисления.
23. Решение задачи Коши для линейных и дифф. у-ний.
24. Решение с/с дифф. у-ний с применение операционного исчесления.
25. Решение интегральных ур-ний.
1.Функции комплексного переменного.
Если каждому числу zЄD по некоторому правилу поставлено в соответствие некоторое число ωЄЕ то говорят что на множестве определена однозначная ф-ия комплексного переменного ω=f(z) отображающая множество D в множество Е.Ф-ию ω=f(z) можно зап в виде u+iυ=f(x+iy), f(x+iy)=u(x;y)+iυ(x;y), u=u(x;y)=Ref(z), υ=υ(x;y)=Imf(z), (x;y) ЄDФ-ию u(x;y) при этом называют действительной частью ф-ии f(z) а υ(x;y)-мнимой.
2.Основные элементарные функции комплексного переменного.
Определим основные элементарные ф-ии комплексного переменного z=x+iy.Показательная ф-ия ω=еz определяется ф-лой ω=еz=еx(cosy+isiny) cв-ва пок ф-ии: еz1еz2= еz1+z2
еz1еz2= еx1еx2(cos(y1+y2)+isin(y1+y2))= еx1+x2(cos(y1+y2)+isin(y1+y2))=еx1+x2+i(y1+y2)=еz1+z2.Логарифмическая ф-ия:ω=Lnz=u+iυ=lnr+i(φ+2kп)=ln|z|+i(argz+2kп); lnz=ln|z|+iargz.Степенная ф-ия: ω=zn ω= zn rn (cosnφ+isinnφ) ф-ия ω=zn-однозначная.Тригонометрическая ф-ия:триг ф-ия комплексного аргумента z=x+iy определяются равенствами sinz=eiz-e-iz/2i,cosz= eiz+e-iz/2,tgz=sinz/cosz,ctgz=cosz/sinz.Гиперболические ф-ии.Эти ф-ии определяются рав-ми shz= ez- e-z/2,chz= ez+e-z/2,thz= shz/chz,cthz= chz/shz.
3. Аналитическая функция.
Функция f(z) называется аналитической в точке z, если она дифф-ма в некоторой окресности этой точки. Функция f(z) называется аналитической в области D, если она дифф-ма в каждой точке zÎD. Точки в плоскости z, функция f(z) аналитична, называются правильными, а если не аналитична, то точки будут особыми. Пусть ф-я w=f(z) аналитична в т. z. lim∆z®0 ∆w/∆z=f ‘(z)Þ ∆w/∆z=f ‘(z)+a, где a®0 при ∆z®0. w=f(z).
4. Производная ф-ии комплексного переменного.
Пусть w=f(z) определена в некоторой окресности в т. z. Тогда lim∆z®0∆w/∆z= lim∆z®0 f(z+∆z)-f(z)/ ∆z= f ‘(z). Если он существует, называется производной функции f(z) в точке z,а ф-ия называется дифф-мой.
5. Дифференцируемость функции. Условие Коши-Римана.
w=f(z) D-область. Определение: Если существует конечный предел отношения, ∆z→0, то этот предел называется производной функцией f ‘(х) в т. z0. f ‘(х)=lim∆z→0 ∆w/z=lim∆z→0 f(z+∆z)-f(z)/ ∆z. Отсюда w=f(z) называется дифф. в т. z=z0. Теорема: Для того чтобы функция f(z)= U(x,y)+iV(x,y) была дифф. в т z0=x0+iy0 необходимо: 1) U(x,y),V(x,y) были дифф. в т. (x0,y0); 2) чтобы в этой т. выполнялось ∂u/∂x=∂v/∂y; ∂u/∂y=-∂v/∂x- это условие Коши-Римана. Определение1: Функция называется аналитической в областе, если она дифф-ма в каждой т. этой области. Определение2: Функция называется аналитической в точке z0,если функция дифф. не только в данной т., но и в ее окрестности.
6. Связь м/д аналитическими и гармоническими функциями.
Если функция f(z)= U’(x,y)+iV(x,y) аналитическая в D, то функции U (x,y), V(x,y) явл-ся гармоническими, выполняется ур-е Лапласа: ∂2u/∂x2+∂2u/∂y2=0, ∂2v/∂x2+∂2v/∂y2=0, Если функция U (x,y), V(x,y) явл-ся произвольно выбранными гармоническими, то функции U (x,y), V(x,y) не будет аналитической, тогда условие Коши-Римана не выполняется. Условие Коши-Римана позволяет определить не известную функцию по ее двум частным производным: M(x,y)dx+N(x,y)dy=0Þ ¶M/¶y≡¶N/¶x; x0òx M(x,y)dx+ y0òy N(x,y)dy=0
7. Интегрирование функции комплексного переменного.
Пусть в области D в плоскости z заданна непрерывная функция: w=f(z)= U(x,y)+iV(x,y) и L кусочно-гладкая направленная кривая Î D. òL f(z)dz= åf(xk)∆zk; xk-произвольна точка дуги. Lk=(zk-1;zk). При произвольном разделение дуги на L частей: z0, z1,z2…zn; ∆zk =zk -zk-1; òL f(z)dz=òL U(x,y)dx-V(x,y)dy+iòL V(x,y)dx+U(x,y)dy; x=x(t), y=y(t); a£t£b; z= x(t)+i y(t)Þ òL f(z)dz=aòb f[z(t)]z’(t)dt
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.