8. Интегральная теорема Коши.
Теорема для односвязной области: Пусть z функция в односвязной области D, когда LÎDÞ∫L f(z)dz=0. Теорема для многосвязной области: Пусть f(z) функция в многосвязной области D. ∫L f(z)dz=∫L1f(z)dz+∫L2 f(z)dz+…+∫Ln f(z)dz. Пример для двухсвязной: ∫L1f(z)dz=∫L2 f(z)dz, где L1,L2- производные контуры области D. z1òz2 f(z)dz= F(z) z1½z2 = F(z2)-F(z1)=F’(z)=f(z). Интегральная формула Коши: 1)f(z0)=1/2ПiòL f(z)/z-z0 dzÞòL f(z)/z-z0 dz=2Пi f(z)÷z=z0; 2) f(n)(z0)=n!/2ПiòL f(z)/(z-z0)n+1dzÞ òL f(z)/(z-z0)n+1dz =2Пi/n! f(z)÷z=0.
9. Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть функция F(z)=z0òz f(z)dz есть первообразная функция для f(z).Þ z0òz f(z)dz=F(z)+C. F(z0)+C=0.ÞС=-F(z0). Получается: z0òz f(z)dz=F(z)-F(z0)-Формула Ньютона-Лейбница.
10. Ряды Лорена.
Пусть f(z) однозначная и аналитичная функция в кольце: f(z)=…+A-3/(z-a)3+A-2/(z-a)2+A-1/z-a+A0+A1(z-a)+A2(z-a)2+A3(z-a)3+…-называется рядом Лорена. Ряд A-3/(z-a)3+A-2/(z-a)2+A-1/z-a называется главной частью ряда Лорена, а ряд A0+A1(z-a)+A2(z-a)2+A3(z-a)3
11.Основная теорема о вычетах.
Пусть а полюс n-го порядка ф-ии f(z), вычет ф-ии f(z) относительно ее полюсе n-ного порядка вычисляется: res f(z)=1/(n-1)! Limz®a dn-1[(z-a)nf(z)]/dzn-1; residue- вычет. Если а полюс первого порядка res f(z)=limz®a(z-a)f(z). Пусть ф-я j(z),y(z) регулярны точка z=a. j(a)¹0, y(a) имеет 1 порядок, при вычете ф-ии f(z)= j(z)/y(z); resa f(z)= j(z)/y(z). Кроме конечного числа изолированных особых точек а1,а2,an полюсов, то заданному контуру содержащему внутри себя этой точки и лежащей в области D. òg f(z)dz=2Пi å res f(z)- это теорема вычетов. Частный случай: Пусть f(z) аналитическая ф-я f области D. Число аÎD и f(a)¹0ÞF(z)=f(z)/z-a. Найдем вычет ф-ии: resa F(z)= limz®a (z-a)F(z)=limz®a(z-a) f(z)/z-a= limz®a f(z)=f(a)Þ òg f(z)dz=2Пi f(a); f(a)=1/2Пi òg f(z)dz-формула Коши
12. Вычисление вычетов функции. Применение вычетов к вычислению интеграла.
Пусть а полюс n-го порядка ф-ии f(z), вычет ф-ии f(z) относительно ее полюсе n-ного порядка вычисляется: res f(z)=1/(n-1)! Limz®a dn-1[(z-a)nf(z)]/dzn-1; residue- вычет. Если а полюс первого порядка res f(z)=limz®a(z-a)f(z). Пусть ф-я j(z),y(z) регулярны точка z=a. j(a)¹0, y(a) имеет 1 порядок, при вычете ф-ии f(z)= j(z)/y(z); resa f(z)= j(z)/y(z). Кроме конечного числа изолированных особых точек а1,а2,an полюсов, то заданному контуру содержащему внутри себя этой точки и лежащей в области D. òg f(z)dz=2Пi å res f(z)- это теорема вычетов. Частный случай: Пусть f(z) аналитическая ф-я f области D. Число аÎD и f(a)¹0ÞF(z)=f(z)/z-a. Найдем вычет ф-ии: resa F(z)= limz®a (z-a)F(z)=limz®a(z-a) f(z)/z-a= limz®a f(z)=f(a)Þ òg f(z)dz=2Пi f(a); f(a)=1/2Пi òg f(z)dz-формула Коши.
13. Нахождение изображения ф-ии.
Определение: ф-ия f(t) св-ва: 1) f(t)=0, t<0; 2) ½f(t)½< Mesot t>0; 3) на конечном [AB] в полуоси ot ф-ии f(t) удовлетворяет условие Дирихле: a) f(t) ограниченна либо непрерывна. б) имеет некоторое число точек разрыва. в)имеет конечное число экстремумов. P=a+bi, где rep= a³s1³s2>s0. При .Þ 0ò¥ e-pt f(t)dt является от 0ò¥ e-pt f(t)dt=f(p)- это интеграл Лапласа, а аргумент р определяемый им называется преобразованием Лапласа. f(p)¸>f(t). f(t0)=f(t0-0)+f(t0+0)/2. t0¹0; t0=0; f(0)=1. При соблюдение этих условий м/д оригиналом и изображением облад. следующие св-ва: 1) Соответствие взаимодействия однозначна. 2)Линейной комбинацией конечного множества оригиналов в качестве изображения отвечает соответствующая линейная комбинация их изображения.
14. Таблица изображений основных элементарных ф-ий.
· f(z)=1 f‾(p)=1/p · f(z)=tn/n! f‾(p)=1/pn+1
· f(z)=eat f‾(p)=1/p-a · f(z)=cosbt f‾(p)=p/p2+b2
· f(z)=sinbt f‾(p)=b/p2+b2 · f(z)=eatcosbt f‾(p)=p-a/(p-a)2+b2
· f(z)=eatsinbt f‾(p)=b/(p-a)2+b2 · f(z)= tn/n!eat f‾(p)=1/(p-a)n+1
· f(z)=tcosbt f‾(p)=p2-b2/(p2+b2)2 · f(z)=tsinbt f‾(p)=2pb/(p2+b2)2
· f(z)=cht f‾(p)=p/p2-1 · f(z)=sht f‾(p)=1/p2+1
15. Отыскание оригинала по изображению.
I(p)= U(p)/V(p); U(p),V(p)- где многочлены. Эта формула для нахождения оригинала для дробно-рациональной ф-ии. Если изображение искомой функции может быть разложена в степенной ряд по степеням 1/р: I(p)=a0/p+a1/p2+a2/p3+…+an/pn+1-Ряд сходится. R=limn®µ½an+1/an½¹µ Þ f(t)=a0+a1t/1!+a2t2/2!+a3t3/3!+…+antn/n!-ряд сходится для всех значений t
16. Свертка ф-ии.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.