Приклади аналізу перехідних процесів, страница 2

1.4. Відключення конденсатора від джерела постійної ЕРСз розрядом на резистор

Припустимо, що конденсатор був заряджений від джерела постійної ЕРС Е. Потім вимикачем Q1 відключили джерело і замкнули вимикач Q2, ініціюючи тим самим перехідний процес розряду кон­денсатора.

Для контура, що залишився, за другим законом Кірхгофа складемо рівняння:

-u_с + u_R + u_Rр = 0.

Рис. 5.10

Зробимо підстановки U_R = Ri

у це рівняння й отримаємо проміжний вираз

а після спрощень маємо диференційне рівняння з одним невідомим u_с:

Розв'яжемо рівняння (5.25) звичайним чином. Усталена скла­дова u_Су = 0 (при досягненні усталеного стану конденсатор повністю розрядиться). Тому підсумковий розв'язок складається тільки з вільної складової u_с = u_Св і має відомий загальний вигляд u_с = А_uе^рt. Діючи, як і в пункті 5.3.2, беремо похідну від u_с і фор­муємо характеристичне рівняння (R + R_р)Срu_с + u_с = 0. Знахо­димо його корінь і сталу часу для кола, що розглядається:

У відповідності з другим законом комутації (5.2) напруга на ємнісному елементі миттєво змінитися не може, тобто при L=0 маємо u_с = Е. Підставляючи це у формулу розв'язку, маємо Е = А_uе^р0, звідки отримаємо сталу інтегрування А_u=Е і підсум­ковий розв'язок:

На його основі струм

остаточно:

1.5. Підключення котушки індуктивності до джереласинусоїдної ЕРС

Джерело має синусоїдну ЕРС е = Еmsin(ωt + ψ_е).

Рис. 5.12

Для кола за рис. 5.12 після його комутації рівняння має вигляд u_L + u_R = е. Але з ураху­ванням (5.4) отримуємо диференційне рів­няння:

розв'язок якого і = і_y + і_в складається з двох складових струму.

ЕРС синусоїдна, тому всі усталені елект­ричні величини також будуть синусоїдними, в тому числі і струм:

Цю функцію усталеного струму належить визначити за прави­лами розрахунку кіл синусоїдного струму. А саме, індуктивний і повний опори кола, амплітуда струму, фазовий зсув між струмом і ЕРС та початкова фаза струму визначаються за відомими форму­лами:

Рівняння для вільної складової відповідає розглянутому в прикладі 5.3.1 і має вигляд (5.11)

Воно розв'язу­ється за відомими вже правилами, тобто вільна складова струму

а відповідний характеристичний параметр і стала часу (5.12) мають вже відомі вирази

Зводимо складові струму разом і маємо для нього розв'язок

Сталу інтегрування А₁ знайдемо, використовуючи початкові умови і перший закон комутації (5.1), тобто i(0) = 0. Підставляючи це і L = 0 у вираз струму (5.32), маємо

а звідси

Остаточний вираз для струму:

Тут можливі два крайні випадки отриманої функції, які ми розглянемо на конкретному прикладі при наступних вихідних даних для схеми за рис. 5.12:

L = 0,1 Гн; R = 5 Ом; Е_т = 180 В; ω = 314 с^-1.

За формулами (5.31) і (5.12) знаходяться:

Х_L = 31,4 Ом; Z = 31,8 Ом; І_т = 5,66 А; φ = 81°; т = 0,02 с.

Перший - простіший - варіант функції струму отримуємо при ψ_і = 0, що можливо, якщо ψ_е = φ = 81°. Тоді відразу маємо усталений синусоїдний процес (5.30) і = І_т sinωt = 5,66sin314t А. Відповідні графіки для ЕРС і струму подані на рис. 5.13.

Другий - найбільш складний варіант - отримуємо при ψ_i=π/2=90°, що можливо, якщо ψ_е=ψ_i+φ=90°+81°=171°=2,985 рад.

Рис. 5.13

У цьому випадку маємо за (5.33) функцію струму

Графік цієї функції разом з гра­фіками ЕРС і усталеної та вільної складових струму подані на рис. 5.14.

Рис. 5.14

Очевидно, що найбільше значення струму виникає протягом першого періоду і в цьому випадку це екстремальне значення І_mах = 9,12 А, а взагалі існує обмеження I_mах < 2I_т.

При інших значеннях функція струму має проміжний вигляд між двома крайніми випадками, поданими на рис. 5.13 і 5.14.

1.6. Розряд конденсаторана котушку індуктивності

Як випливає зі схеми заміщення на рис. 5.15, конденсатор С був попередньо заряджений від джерела постійної ЕРС Е, а потім переключений на котушку індуктивності, що подана резистивним R і індуктивним L ідеальними елементами.

Щоб розрахувати перехідний процес, розглянемо контур, що утворився після комутації кола перемикачем Q. Для цього кон­тура за другим законом Кірхгофа складаємо рівняння:

u_L+ u_R - u_c = 0.

Для того, щоб залишити одне невідоме, а у даному випадку це буде напруга на конденсаторі u_с, врахуємо відомі взаємозв'язки величин (5.4), (5.6)

(знак мінус через зустрічні напрямки u_с та i), і отримуємо диференційне рівняння другого порядку

яке подамо у вигляді: