Предвычисление орбитальных параметров искусственного спутника Земли

Страницы работы

Содержание работы

14

2. ПРЕДВЫЧИСЛЕНИЕ ОРБИТАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ИСЗ

2.1.Разновидности уравнений движения ИСЗ .

2.1.1. Сначала вспомним вывод дифференциального уравнения второго порядка для описания движения твердого тела в центральноv гравитационноv поле, образованном моделью  однородного земного шара. Здесь можно полагать, что масса М  Земли сосредоточена в начальной точке геоцентрической системы координат рис. 2.1а, а масса m спутника сосредоточена в точке, имеющей искомые координаты x=x(t), y=y(t), z=z(t) конца радиуса-вектора r (рисунок построен для случая  z=z(t)=0) . (Далее вектора  обозначаются жирным курсивом).

 
 

 
 
 

По второму закону Ньютона ускорение ИСЗ a=d2r/dt2=dv/dt определяется действующей силой F из равенства F=am. В нашей модели действует сила тяготения F=fMm(-r)/r3=mm(-r)/r3, где f - постоянная всемирнjго тяготения, а m = 3,986008.1014м32  - гравитационная постоянная Земли. Приравнивание двух выражений для силы F (после сокращения на массу ИСЗ) и приводит к  первому уравнению движения (единицы массы ИСЗ) в векторном виде

a= -mr/r3  или d2r/dt2=dv/dt = -mr/r3                                            (2.1)

2.1.2.Понижение порядка дифференциального уравнения достигается, если левую и правую части (2.1) умножить векторно на r. Справа получим ноль, так как векторное произведение одинаковых векторов [r´r]=0. Оставшееся равенство [a´r]=0 сопоставим с выражением для производной от векторного произведения   d[v´r]/dt=[ar] + [vv] =[a´r]. Можно видеть,что эта производная равна нулю, то есть векторное произведение [v´r] равно некоторому постоянному вектору:

[v´r] =С,          причем модуль                 С=rvsin{rÙv}=2 DS,                        (2.2) где DS – неизменное приращение  площади, «заметаемой» радиусом-вектором в единицу времени – эта площадьтреугольника со сторонами r  и vимеет размерность м2/с. (Заметим, что если единицу времени устремить к нулю, то  обозначение DS необходимо заменить на производную dS/dt.)

Неизменность «заметаемой радиусом вектором  за единицу времени» площади DS была выявлена около 400 лет назад немецким астрономом Иоганом Кеплером, но не аналитически, а в процессе обработки многочисленных наблюдений астронома Тихо-Браге за движением планет вокруг Солнца.

2.1.3. Поскольку вектора rи vперпендикулярны вектору С, не меняющему во времени своего направления, то движение ИСЗ происходит только в одной плоскости. Известно, что траектория такого невозмущенного движения имеет вид эллипса с большой  а  малой  b  полуосями и площадью Sэ=pab, причем если величина DS определена, то легко находится и период обращения по эллиптической траектории Т=Sэ/DS и средняя угловая скорость (среднее движение) ИСЗ n0=2p/T=2pDS/Sэ, Целесообразно определить формулы связи «заметаемой за секунду» площади DS  с параметрами эллипса.

На рис.2.2 фокус F эллипса совмещен с центром Земли и использована перигейная декартова система координат, в которой ось Ох, совмещенная  с большой полуосью эллипса, направлена в точку перигея, которая находится от центра Земли  на минимальном расстоянии rп=a-(a2-b2)0,5 , тогда как точке апогея соответствует расстояние

15

rA=a+(a2-b2)0/5. В этих точках векторы rиv взаимно перпендикулярны. Что приводит к полезным далее соотношениям

2DS =vПrФ = vАrА ,      vА =vП (rП/rА) < vП,        rП +rA =2a,      rПrА=b2=SЭ2/(pa)2,         (2.3)

где v  и v   - модули векторов скорости ИСЗ.

Теперь применим закон постоянства суммы Э кинетической  Эк=0.5v2  и потенциальной Эп=-m/r энергий спутника, движущегося в центральном поле. Из равенства сумм энергий в точках апогея и перигея вытекает, что 0,5vП2-m/rП=0.5vA2-m/rП. Подставляя сюда vA из (2.3) получим vП=(1/rП)[mb2/a]0,5 или 2DS=dS/dt=[mb2/a]0,5, что с учетом выражения для b2 из (2.3) приводит к формуле для периода обращения Т=2p3/m)0/5. Заметим. что период обращения при 0<b<a, зависит лишь от большой полуоси эллиптической орбиты .

a,b,Y,X,П,x,y,F,1,А,ось апсид,F,r,_
r,r,O,П

Рис. 2.2.  Геометрические  параметры орбиты ИСЗ

 
 


2.1.3. Перейдем от обобщенных параметров орбиты к определению текущих координат ИСЗ. В декартовой перигейной системе  справедливо известное уравнение эллипса [x+(a2-b2)0,5]2/a2+y2/b2=1. Более широко используется  полярная система координат (r,q) с центром в фокусе F и полярной осью, направленной на перигей. Здесь q=q(t) – угол между полярной осью (радиусом-вектором перигея) и радиусом-вектором ИСЗ. Этот угол носит веками наименование истинная аномапия. Декартовы и полярные координаты связаны равенствами x=rcosq, y=rsinq. Подставляя их в предыдущее уравнение после громоздких выкладок получают известное уравнение эллипса в полярной системе

16

r=r(t)= (b2/a)/(1+ecosq)=(1-e2)a/(1+ecosq),                                   (2.4)

где e=(1-b2/a2)0,5 – эксцентриситет, который в СРНС невелик – около 1%. 

2.2. Зависимость истинной аномалии от времени. Формулы Кеплера.

2.2.1. Для предвычисления текущих координат необходимо получить выражения зависимости истинной аномалии q=q(t) от времени, отсчитываемого обычно с момента tП прохождения перигея. Традиционный для последних веков путь поиска подобной закономерности – составление дифференциального уравнения для искомой величины. Это уравнение для истинной аномалии q=q(t) можно /6/ получить, обратив внимание, что площадь вытянутого треугольника DS на рис. 2.1 выражается (при стремящейся к нулю единице времени) с использованием его высоты h=rDq=r(dq/dt) равеством DS=0,5r2dq/dt. Воспользовавшись полученным в п.2.2 выражением для DS  и формулой (2.4) для r получим искомое нелинейное уравнение

dq/dt = (ma/b2)(1+ecosq)2                                       (2.5)

2.2.2 Лишь  для окружности (е=0, a=b) истинная аномалия является линейной функцией времени q=m/а=2p(t-tП)/Т. Правая часть этой формулы и в случае эллиптической траектории характеризует отношение «заметаемой» радиусом-вектором ИСЗза интервал t-tп площади S(t-tп)=(t-tп)×DS к площади SЭ эллипса: это отношение также линейно зависит от времени: S(t-tп)/SЭ=(t-tП)/Т. Ввиду важности этой дроби для описания  движения ИСЗ и необходимости подчеркнуть ее периодичность вводится умножение на 2p, а величина

М=2p(t-tП)/Т=2p(t-tП)(DS/SЭ)                                          (2.6)  

называется «средняя аномалия».

2.2.3. Достойно /6/ удивления и восхищения, что почти 400 лет назад – когда не существовало дифференциального исчисления – искомое аналитическое выражение для q=q(t) – т.е. решение уравнения (2.5) -  было выявлено Иоганом Кеплером и обосновано с помощью простых    геометрических соотношений, соответствующих рис. 2.3, на котором  орбита-эллипс описана окружностью радиусом а, равным большой полуоси эллипса. правый фокус которого совпадает с центром Земли. 

Эллипс можно рассматривать как проекцию круга  радиуса a, повернутого вокруг большой оси эллипса на угол, косинус которого равен отношению b/a полуосей эллипса (см. рис. 2.3). Следовательно, площадь фигуры SFЭП, «заметаемой» радиусом-вектором за время t - tп, и площадь фигуры SFКП соотносятся, как малая  и большая полуоси эллипса, то есть SFЭП =(b/a)×SFКП=(b/a)(SОКП-SОКF).

Центральный угол круга КОП  называется «эксцентрическая  аномалия» и обозначается Е. Из рассмотрения рис. (2.3 ) видно,  что площадь  кругового сектора SОКП=pa2(E/2p)=(a2E)/2, а площадь треугльника ОКF, (основание которого (a2-b2 )0.5 равно половине расстояния между фокусами) составит SОКF=0.5(a2-b2)0.5aSinE. Таким образом

                SFКП=(a2/2){E-[(a2-b2)0.5/a]sinE} = (a2/ 2)(E-esinE),              SFЭП=(ab/2)(E-esinE).

17

Рис.  2. 3.  Взаимосвязь истинной и эксцентрической аномалий

 
 


Так как (ab)/2=Sэ /2p, а 2p (SFЭП/Sэ)=2p(t-tп)¤T=M, то получаем знаменитое  уравнение 

Кеплера для определения Е по значению М из (2.6)     

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Расчетно-графические работы
Размер файла:
211 Kb
Скачали:
0