Математическая обработка статического материала

Результаты опытных данных, полученные измерением или иным путем сбора первичной информации являются статистиче­ским материалом и подлежат математической обработке. Она выполняется для того, чтобы исследовать полученную информа­цию на промах и «очистить» ее от грубых ошибок, которые могут существенно исказить истинное значение измеренной величины; определить абсолютную погрешность найденного среднего зна­чения искомой величины (так называемый доверительный интер­вал); ответить на вопрос: достаточно ли выполненных измерений и их точности для достоверности полученного результата. Если не достаточно, то какими способами можно будет повысить дос­товерность.

При выполнении расчетного задания 1 его исходные дан­ные сначала проверяют на нормальность распределения ошибок, что позволяет обоснованно применять основные положения теории ошибок для дальнейшей обработки. Затем исходные данные исследуют на промах и по всем правилам освобождают (или не освобождают) от подозрительных величин.

После этого находят среднюю искомую величину и ее ошибку (доверительный интервал) при пяти значениях надежно­сти α, равных 90, 95, 99 %.

На последнем этапе дают ответ: достоверна или нет ис­ходная информация, какими путями ее можно повысить.

Исходные данные: Измерение диаметра стеклянного литого цилиндра штангенциркулем показали следующие результаты (табл.1).

Таблица 1 Результаты измерений.

 

Номера измерений i	Значение измерений di , мм	Номера измерений i	Значение измерений di , мм
1	774	10	774,6
2	774,5	11	777,7
3	774,3	12	774,7
4	775	13	774,8
5	774,9	14	775,1
6	774,8	15	775,1
7	774,1	16	775,0
8	774,2	17	772,5
9	774,4

Задание:

Проверить ошибки измерений на нормальность распределения.

Исследовать полученную информацию на промах при коэффициенте надежности α=0,95

Определить диаметр цилиндра и доверительный интервал (ошибку) при надежности равной 90, 95 и 99%.

Оценить результаты измерений на достоверность и указать способы ее повышения.

 Решение:

1. Проверка ошибок измерений на нормальность распределения.

Для разбивки 17 значений на классы находим ориентировочную ширину каждого класса. В нашем случае она составит:

                                                                                                                    (1)

Принимаем ширину класса равной 0,3 (соизмеримой с точностью применяемого измерительного средства). Далее составляем табл.2

Таблица.2. Расчет накопленных частостей

Номера классов	Границы классов измеренного диаметра, мм	Частота попадания в класс	Накопленная частота в физическом выражении	Накопленная частота, %
1	772,5-772,8	1	1	6,25
2	772,8-773,1	0	1	6,25
3	773,1-773,4	0	1	6,25
4	773,4-773,7	0	1	6,25
5	773,7-774	1	2	12,5
6	774-774,3	3	5	31,2
7	774,3-774,6	3	8	50
8	774,6-774,9	4	12	75
9	774,9-775,2	4	16	100

2. Исследование результатов измерений на промах.

Определяем среднее значение диаметра из 17 измерений по формуле.

                                                         мм                                                          (2)

Находим среднее квадратическое отклонение σ замеров по формуле.

                                                      мм                                                      (3)

Вычисляем значения безразмерного статистического критерия V^* относительно подозри-тельной величины d₁=76,76 мм. Он будет равен.

                                                                                     (4)

Находим максимально-возможное значение V*_max. При коэффициенте надежности α=0,95 и числе данных n=16, используя табличные данные получаем  V*_max=2,52.

Сравнивая V*=3,2 с величиной V*_max=2,52 (V*=3,2>V*_max=2,52) заключаем, что исследуемые подозрительные значения замеров d₁=772,5 мм является промахом, и ее исключаем из выборки.

Исследуем на промах величину d₂=775,1 мм.

Среднее значение диаметра из оставшихся 16 замеров составит:

                                                            мм.                        (5)

Средне квадратичное отклонение замеров.

(6)

Значение величины V^*  относительно второй подозрительной величины  d₂=775,1 мм.

(7)

При α=0,95 и n=15  V^*_max=2,49

Поскольку V^*=0,37< V^*_max=2,52,то исследуемое подозрительное значение замера d₂=76,60 мм не является промахами, и их оставляем для дальнейших оценок.

3. Определение диаметра цилиндра и доверительного интервала  при надежности равной 0,90; 0,95 и 0,99.

 Среднее арифметическое значение диаметра после «очистки» результатов 16 измерений от промахов равно

мм

Среднеквадратическая ошибка среднего арифметического значения диаметра равна.       

                                                                               (8)

Значение коэффициента Стьюдента t_αn при надежности α=0,95и n=15равно t_αn=2,13

Абсолютная погрешность (доверительный интервал) измерений α=0,95 составит.

                                                                                   (9)

Результат измерения диаметра при α=0,95:

                                                                                              (10)

Или 774,39мм<d<774,81

 Относительная погрешность измерения при α=0,95:                                                                         

                                                                                                                                             (11)

Для оценки влияния коэффициента надежности α на показатели статистической обработки выполним аналогичные расчеты при значениях α=0,90; 0,95; 0,99.Результаты расчетов оформляем в виде таблицы 3.

Таблица 3.Показатели статистической обработки измерений диаметра стеклянного                                             цилиндра при разной надежности.

Наименование показателей.	Обозначение.	Значение показателей при надежности α, равной
		0,90	0,95	0,99
Среднее арифметическое значение	,мм	774,6	774,6	774,6
Среднеквадратическая ошибка среднего арифметического	,мм	0,1	0,1	0,1
Коэффициент Стьюдента	tαn	1,75	2,13	2,95
Абсолютная погрешность (доверительный интевал).		0,175	0,21	0,29
Результаты  измерения	d, мм	774,6±0,175	774,6±0,28	774,6±0,29
Относительная ошибка доверительного интервала.	%	0,02	0,03	0,04