Определение моментов инерции тел методом крутильных колебаний

Страницы работы

5 страниц (Word-файл)

Содержание работы

Министерство образования РФ

Рязанская государственная радиотехническая академия

Кафедра ОиЭФ

Лабораторная работа № 1-20

«ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТЕЛ МЕТОДОМ                                          КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ»

Выполнил ст. гр. 255

Ампилогов Н. В.

Проверил

Малютин А. Е.

Рязань 2002

Цель работы: изучение динамики вращательного твёрдых тел; знакомство с методом крутильных колебаний, предназначенным для определение моментов инерции тел.

Приборы и принадлежности: прибор для определения крутильных колебаний – унифилярный подвес ФПМ05, снабженный набором твёрдых тел (грузов) и электронным миллисекундометром.

Элементы теории

Для начала запишем уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси:

1)   где M – момент действия на тело сил, взятый относительно оси вращения; J – момент инерции тела вокруг оси вращения;  -  угловое ускорение тела.

Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси называется величина, численно равная произведению массы тачки на квадрат её расстояния от оси:

2)  .

Для протяженных тел момент инерции равен сумме моментов инерции отдельных материальных точек (Dmi) на которые можно разбить данное тело:

3)  .

Когда число элементарных масс стремиться к бесконечности, сума переходит в интеграл:

4)  , где r - плотность материала; V – объём тела.

В данной работе используется система представляющая собой твёрдое тело, подвешенное на струне, закреплённой с обеих сторон. После отклонения бруска на некоторый угол j от положения равновесия и отпускания система начинает совершать свободные крутильные колебания.

Уравнения колебаний данной системы при малых углах отклонения j можно записать так:

5)  ,

где r – коэффициент момента сил сопротивления, численно равный моменту сил сопротивления при угловой скорости  (равной 1 рад/с); k – коэффициент возвращающего (упругого) момента, численно равный моменту упругих сил, возникающих при закручивании струны на угол, равный одному радиану.

При малом сопротивлении среды, в которую помещена колеблющаяся система, числовое значение r – пренебрежимо мало.

Предположив, что , уравнение (5) можно переписать следующим образом:

6) 

Данное дифференциальное уравнение, есть уравнение гармонических колебаний, и оно имеет решение вида:

7)   

где j0 – угловая амплитуда колебаний; w - циклическая (круговая) частота; a - начальная фаза колебаний.

Круговая частота w и период колебаний T находятся через величины J и k по формулам:

8) 

После снятия показаний с установки можно вычислить период колебаний:

где tвремя колебаний; Nчисло колебаний.

Время N полных колебаний системы можно найти так:

9)   где J0– момент инерции пустой рамки.

Затем измеряем t0 – время N полных колебаний ненагруженной рамки, tэ – время N полных колебаний рамки с грузом. Тело с известным моментом инерции называют эталонным телом.

Зависимость измеряемых времён от соответствующих моментов инерции задаётся системой уравнений:

10)

Исключив из этой системы неизвестные величины J0 и k получим формулу для неизвестного момента инерции тела (J):

11)

Из данного выражения следует формула для предельной относительной погрешности определяемого момента инерции:

при tэ>t

 

при t>tэ

 
12)  

где  - относительная погрешность момента инерции эталонного тела;                               Dt – погрешность измерения полного времени N колебаний рамки (предположительно эта погрешность одинакова для всех трёх измерений: t0, t и tэ).

Для упрощения расчётов формулу (11) можно преобразовать в следующее выражение:

13) .

Вычисления моментов инерции тела можно производить и по формуле следующего вида:

14) , но только при выполнении условия приблизительного равенства значений времени t и tэ:

15) ;

Расчётная часть

№ опыта

1

2

3

, с

to, с

12,661

12,660

12,663

12,661

t1, с

15,172

15,197

15,221

15,197

t2, с

18,060

18,049

18,070

18,060

tэ, с

18,201

18,391

18,393

18,328

N = 20

После проведения опытов имеем значения следующих величин:

(Куб) …………… m1  = 0,950 кг.  a= 36,6´10-3 м. (ребро куба).

(Параллелепипед) m2  = 1,850 кг.  h= 100,3´10-3 м. b= 6´10-2 м. a= 4´10-2 м. (длина, ширина, высота).

(Цилиндр) ……… mэ  = 1,708 кг.  R= 31,5´10-3 м. h= 70,2´10-3 м. (радиус, высота)

Используя формулу (12) вычислим относительные погрешности моментов инерции для каждого тела. Для этого, по соответствующим формулам, найдём момент инерции эталонного тела (Jэ), абсолютную (DJэ) и относительную (EJэ) погрешности вычисления данной величины, а так же погрешность измерения полного времени N колебаний (Dt).

  кг´м2.

Вычислим DJэ по формуле нахождения абсолютной погрешности измерения косвенной величины.

 где  т. к. измерения радиуса эталонного тела проводились штангенциркулем - с = 0,02 мм. = 2 ´ 10-5 м; k = 1,1.

   кг´м2.

Найдём погрешность измерения полного времени N колебаний (Dt).

   

При n = 3, tс = 4,30; c = 10-3 с.

 с.  с.

 с.  с.

  с.

По следующей формуле подсчитаем относительную погрешность момента инерции эталонного тела.

Для 1-ого тела найдём относительную погрешность момента инерции. Будем использовать выражение (12) в следующем виде т. к. tэ > t1 (как значение t1 (и в дальнейших вычислениях ti ) берётся значение )):

 

Относительная погрешность момента инерции для 2-ого тела:

 

при tэ > t2.

Теперь, оценив соотношение (15), подсчитаем значение моментов инерции для 1-ого и 2-ого тел.

Для нахождения значения момента инерции 1-ого тела надо использовать формулу (13) т. к.

 

  кг´м2.

Для нахождения значения момента инерции 2-ого тела надо использовать формулу (15) т. к.

 

  кг´м2.

Далее, по формуле DJi = Ji ´ EJi, найдём погрешность для соответствующих моментов инерции тел.

DJ1 = J1 ´ EJ1; DJ1 = 4,18´10-4 ´ 7,77´10-2 = 3,25´10-5 кг´м2.

DJ2 = J2 ´ EJ2; DJ2 = 4´10-2 ´ 8,07´10-4 = 3,23´10-5 кг´м2.

Итого, практические значения моментов инерции данных тел таковы:

J1 = 41,8´10-5 ± 3,25´10-5 кг´м2.

J2 = 80,7´10-5 ± 3,23´10-5 кг´м2.

Найдём теоретические значения тех же величин.

Так, как оба исследуемых тела представляют собой параллелограммы, то их моменты инерции можно найти по следующим формулам:

 кг´м2.    т. к. 1-ое тело является кубом.

 кг´м2.    т. к. стороны основания 1-ого тела не равны.

Вычислим абсолютные погрешности данных величин:

 где  т. к. измерение стороны основания данного тела проводилось штангенциркулем - с = 0,02 мм. = 2 ´ 10-5 м; k = 1,1.

   кг´м2.

  учитывая, что измерения сторон основания данного тела проводились штангенциркулем.

         = 2,83´10-7 кг´м2.

Выпишем, теоретические значения моментов инерции данных тел таковы:

J1 = 2,12´10-4 ± 0,00144´10-4 кг´м2.

J2 = 8,02´10-4 ± 0,00283´10-4 кг´м2.

Похожие материалы

Информация о работе

Предмет:
Физика
Тип:
Отчеты по лабораторным работам
Размер файла:
179 Kb
Скачали:
0