Моделирование полосковых линий: Учебное пособие, страница 4

Рис. 1.4. Подобласть передающей линии с нанесенной сеткой для

расчета поля  методом конечных разностей

Итак, после ввода начальных условий основная программа, во-первых, вызывает подпрограмму САР  и запоминает результаты вычисления емкостей, полученные при интегрировании по замкнутому контуру вдоль внутренних и внешних проводников (для обеспечения хорошей точности оба результата должны быть как можно ближе друг к другу). Далее происходит деление ячеек и обращение к подпрограмме REC, затем вновь к подпрограмме CAP и т.д. После получения трех результатов для последовательно  уменьшающихся размеров ячеек производится проверка их сходимости и путем экстраполяции находится наилучший результат. Такая процедура проделывается для случаев, когда линия заполнена и не заполнена диэлектриком, и из этих результатов определяется характеристический импеданс и фазовая скорость.

Решение уравнения Пуассона с помощью функции Грина. Решение внутренней задачи для ПЛ можно получить из уравнения Пуассона, задаваясь распределением электрических зарядов на проводниках:

r(x,y) - объемная плотность зарядов на проводниках; Ф=0 на границе.

Для решения этого уравнения используется функция Грина G:

,  G=0 на поверхности,     (1.33)

где d - функция Дирака.

Если решение уравнения (1.33) ищется в виде , то решение уравнения Пуассона будет иметь вид:

.                      (1.34)

Общий заряд проводника

×                                    (1.35)

Уравнения (1.34), (1.35) требуют интегрирования по граничной поверхности.

Расчёт погонных потерь в проводящих  и aдиэлектрических  средах многослойных полосковых структур осуществляется по соотношениям:

                    ,

где  - периметр поперечного сечения проводника;  - поперечное сечение ЛП;   - поверхностная проводимость; - поверхностная плотность тока.

1.3. Методы синтеза полосковых линий

Математическая постановка задачи синтеза в большинстве случаев для полосковых ЛП сводится к решению нелинейного уравнения или системы уравнений (для связанных линий) относительно неизвестных геометрических размеров. Для одиночной ПЛ задача формулируется в виде

.                                              (1.36)

При рассмотрении связанных ПЛ система нелинейных уравнений для волновых сопротивлений четного Z_e и нечетного Z_o типов возбуждения приводится к виду [10]:

;

,

где  - вектор конструктивных параметров;  - заданные константы.

Решение задачи при этом сводится к отысканию нулевых минимумов функции:

.                              (1.37)

Из некоторой начальной точки, которая может быть ориентировочно определена из графиков или из конструктивно-технологических соображений, осуществляется процесс движения, который, например, для метода сопряженных градиентов [11] описывается итерационным соотношением вида:

,

где - субвектор конструктивных параметров ; i - номер итерации.

При этом направление движения на (i+1) - й итерации определяется как

После (m+1) - й итерации (i=m) процедура циклически повторяется с заменой  на  [ - начальная точка, в которой вычисляется ]. Таким образом, основная вычислительная процедура в градиентных методах оптимизации связана с определением частных производных, которые, в основном, находятся численными методами.

Как показывают вычислительные эксперименты, для решения нелинейных уравнений (1.36), (1.37) и их аналогов наиболее эффективно использовать метод Ньютона [12], имеющий квадратичную сходимость в окрестности точки решения. Как правило, достаточно 3...6 итераций для получения решения с погрешностью по Z, Z_e, Z_o , меньшей 0,01 Ом.

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПОЛОСКОВЫХ ЛИНИЙ

2.1. Симметричная полосковая линия (СПЛ)

Симметричная полосковая линия (СПЛ), показанная на рис. 2.1, является одной из наиболее часто используемых линий передачи СВЧ диапазона. Основным типом волны СПЛ является Т-волна. Все ее конструктивные параметры могут быть полностью определены на основе электростатического анализа.

Рис.2.1. СПЛ

Если не вводить упрощение, что полосковый проводник имеет нулевую толщину, то наиболее точное значение волнового сопротивления можно получить из формул:

,              (2.1)

где

,                                                 (2.2)

                ,        

,      .                 (2.3)

Для  погрешность расчета по формулам (2.1) - (2.3) составляет не более 0,5 %.

Потери в СПЛ.Суммарные потери ПЛ, определяющиеся коэффициентом затухания a, как и других типов ЛП, могут быть разделены на две составляющие  -  потери в проводниках и в диэлектрике:

Потери в проводниках определяются возрастанием индуктивности, обусловленным проникновением магнитного поля в проводник. Для ПЛ эти потери (дБ/м) могут быть рассчитаны по формуле :

.

Используя выражения (2.1) - (2.3),  получаем:

,                (2.4)

,

.

Как видно из формулы (2.4), потери в проводниках для заданного значения волнового сопротивления Z возрастают пропорционально квадратному корню из значения частоты (в соответствии с частотной зависимостью R_s).

Потери в диэлектрике СПЛ, как и любой другой с Т-волной, определяются формулой :

,                               (2.5)

где tgd - тангенс угла потерь в диэлектрике; l_р - длина волны в свободном пространстве для рабочей частоты.

Из уравнения (2.5) видно, что потери в диэлектрике прямо пропорциональны частоте и tgd. На СВЧ потери в диэлектрике, как правило, малы по сравнению с потерями в проводниках. Однако в миллиметровом диапазоне потери в диэлектрике становятся сравнимыми с потерями в проводниках, так как потери в диэлектрике возрастают по линейному закону, тогда как потери в проводниках пропорциональны квадратному корню из частоты.

2.2. Микрополосковая линия (МПЛ)

Конфигурация МПЛ показана на рис. 2.2. Волна, распространяющаяся вдоль микрополоскового проводника, является квази-Т волной. Выражения для Z и эффективной диэлектрической постоянной eэ, учитывающие влияние толщины полоскового проводника, имеют вид:

Рис. 2.2. МПЛ

 (2.6)

где    

                                         ,                                        (2.7)