Замедляющие системы (основные свойства, характеристики, теоретические и экспериментальные методы исследования замедляющих систем): Учебное пособие, страница 7

          Наиболее простыми моделями, используемыми для анализа сложных ЗС, являются эквивалентные схемы с сосредоточенными реактивными элементами [1,2]. Эффективность метода эквивалентных схем в значительной степени зависит от того, насколько точно выбранная схема соответствует исследуемой ЗС, а также от точности определения параметров элементов, образующих схему. Развитием метода эквивалентных схем является использование модели, содержащей, наряду с сосредоточенными элементами схемы, элементы с распределенными постоянными, например отрезки линий передач [3]. Метод эквивалентных схем, в котором используется простой математический аппарат из теории цепей, часто применяют для качественной, а в отдельных случаях и для количественной оценки свойств замедляющих систем. Остановимся на этом методе более подробно. Условное изображение периодической ЗС в виде цепочки четырехполюсников показано на рис. 4.1,а. Каждый четырехполюсник представляет эквивалентную схему отдельной ячейки системы из реактивных элементов Z и Y, являющихся комбинацией индуктивностей и емкостей. Характер и значение каждого элемента определяются геометрией замедляющей системы. В совокупности эквивалентная схема представляет периодическую цепную линию (рис. 4.1,б), обладающую свойствами полоснопропускаю-щего фильтра. При воздействии гармонического сигнала в такой схеме распространяются волны напряжения и тока. Причем фазовый сдвиг на период схемы соответствует изменению фазы волны на период ЗС.

          Связь между фазовым сдвигом напряжения или тока φL на период схемы легко устанавливается из анализа цепи.

          Определим падение напряжения по замкнутому контуру в одной из ячеек схемы с номером к. Полагаем при этом, что токи ί в соседних ячейках к - 1, к, к + 1 отличаются только фазой φL:

,                             (4.1)

где                                       .                                (4.2)

Подставим (4.2) в (4.1) и получим

.

Так как                 ,  то

 .                                                         (4.3)

Заметим, что Z и Y являются функциями частоты, следовательно, φL также зависит от частоты.

В теории фильтров равенство (4.3) называют условием прозрачности фильтра. Оно позволяет определить границы полосы, а также зависимость φL от частоты.

Рассмотрим некоторые свойства ЗС, вытекающие из уравнения (4.3). Поскольку cos φL удовлетворяет неравенству , то из (4.3) следует, что

.                                        (4.4)

Обратим внимание, что ZY не положительно. Это свидетельствует о разном характере реактивностей Z и Y в полосе частот, границы которой определяются неравенством (4.4). Граничные частоты фильтра соответствуют границам полосы частот соответствующей ЗС.     Уравнение

                                                                                                   (4.5)

определяет граничную частоту ω0, при которой φL = 0 + 2πр, где р = 0, ± 1, ± 2, … – целые числа.

          Второе уравнение

                                                                                       (4.6)

определяет вторую граничную частоту ωπ , при которой φL = π + 2πр.

Равенство (4.3) в совокупности с уравнением (4.2) позволяет также построить дисперсионные характеристики и определить их основные свойства. Пример применения метода эквивалентных схем будет приведен ниже применительно к ЗС типа цепочки связанных резонаторов.

4.2.  Спиральная замедляющая система

4.2.1.  Дисперсионные характеристики

Рассмотрим простейшую спираль, выполненную из тонкого идеального проводящего проводника, имеющую малый период, так что    L << λ3 . Экран отсутствует. Спираль с обозначением размеров показана на рис. 4.2,а.

Процесс замедления можно объяснить из простейших соображений, если считать, что электромагнитное поле сосредоточено вблизи витков спирали и волна распространяется вдоль проводника, огибая каждый виток спирали со скоростью света. Одновременно волна распространяется и в продольном направлении вдоль оси z со скоростью меньше скорости света во столько раз, во сколько длина витка больше шага спирали. Сказанное поясняется рисунком 4.2,б. Следовательно,

                               .                                     (4.7)

         

Как будет видно в дальнейшем, расчет замедления с помощью такого грубого представления дает неплохие результаты на достаточно высоких частотах, когда поле действительно сосредоточено вблизи витков. В общем же случае в спирали имеет место зависимость распределения поля в поперечном сечении от частоты и, как следствие, дисперсия волн.

 Подробно свойства спирали могут быть изучены с помощью модели сплошного цилиндра, проводящего только в направлении намотки витков спирали, то есть под углом ψ к плоскости, перпендикулярной к оси z(модель спирально проводящего цилиндра показана на рис. 4.2,в.). Таким образом, цилиндр представляет сплошную проводящую поверхность, но обладающую изотропной проводимостью.

Для определения полей в такой модели разобьем область распространения волны на две частичные области: область I – внутри цилиндра   r <  и область II – вне цилиндра r> . Как было показано в разделе 1, поле в системе с осевой симметрией описывается модифицированными функциями Бесселя первого и второго рода. В частности, выражения для продольных составляющих электрического и магнитного полей имеют вид:

            ,   ,            (4.8)

где А, В, С, D – произвольные постоянные; множитель здесь и в дальнейшем опущен. С учетом конечности значений полей в любой точке ЗС и свойств функций I0  и K0 следует принять: в области I – В = 0,  D = 0; в области II – А = 0, С = 0. Следовательно, выражения для полей Еz   и   Hz принимают следующий вид:

в области I:                                                    в области II:

,                                              ,