Расчет случайной величины Y (суммарный объём электронной почты за сутки)

Страницы работы

Содержание работы

Московский Энергетический Институт

(Технический Университет)

Типовой расчёт по Статистике.

Вариант №2

Выполнил: Дербенёв Н. В.

Группа А-2-03

Москва 2005г


Постановка задачи.

В почтовый ящик электронной почты регулярно приходят сообщения разной длины в килобайтах. Суммарный объём почты за сутки - случайная величина Y.

1)         Величина Y представляет собой сумму случайных объёмов приходящих писем, что характерно для процесса роста. Следовательно, распределение случайной величины Y соответствует логнормальному закону распределения.

2)         Аналитический вид кривой f(y,q)~LN(q) имеет вид:

3)         Зададим параметры распределения (q = êq1, q2ú ) по следующему правилу:

            q1=№/10, q2=№/20

   Где № - номер по журналу (№ = 2). Учитывая это, получаем:

q1=0.2, q2=0.1

4)         С помощью пакета Statistica рассчитаем 100 значений случайной величины (Y~ LN(q)) с параметрами q1, q2.

1

1.498

26

1.408

51

1.233

76

1.030

2

1.227

27

1.293

52

1.241

77

1.221

3

1.175

28

1.241

53

1.246

78

1.147

4

1.114

29

1.487

54

1.411

79

1.163

5

1.132

30

1.218

55

1.100

80

1.211

6

1.225

31

1.183

56

1.345

81

1.258

7

1.328

32

1.358

57

1.346

82

1.167

8

1.291

33

1.130

58

1.341

83

1.126

9

1.220

34

1.242

59

1.354

84

1.232

10

1.255

35

1.114

60

1.178

85

1.061

11

1.166

36

1.497

61

1.384

86

1.563

12

1.109

37

1.175

62

1.095

87

1.307

13

1.286

38

1.187

63

1.140

88

1.037

14

1.158

39

1.426

64

1.316

89

1.296

15

1.151

40

1.206

65

1.016

90

1.257

16

1.208

41

1.204

66

0.962

91

1.389

17

1.287

42

1.173

67

1.212

92

1.273

18

1.305

43

1.091

68

1.212

93

1.228

19

1.193

44

1.192

69

1.117

94

1.557

20

1.105

45

1.391

70

1.320

95

1.213

21

1.319

46

1.144

71

1.244

96

1.271

22

1.232

47

1.282

72

1.239

97

1.342

23

1.120

48

1.168

73

1.297

98

1.374

24

1.268

49

1.421

74

1.311

99

1.178

25

1.407

50

1.062

75

1.353

100

1.215

Значения были сгенерированы, использую следующие операции:

а)U1..Un, Ui~N(0,1)

б)Y1..Yn,  , Yi~LN(q1,q2)
5)         Запишем формулы для нахождения несмещённых оценок M[Y] и D[Y]:

По этим формулам с помощью пакета Mathcad находим наши оценки:

n=10

n=100

M[Y]

1.2465

1.24201

D[Y]

0.0121411667

0.0137

6)         С помощью пакета Statistica строим оценку функции плотности вероятности в виде гистограммы по значениям Yi, i=1..100.

Кол-во интервалов

n=8

7)         Используя метод максимального правдоподобия, рассчитаем оценки параметров

(q = êq1, q2ú ) логарифмического закона распределения.

а) Функция максимального правдоподобия имеет вид:

Конкретно для логнормального закона распределения:

            Для удобства возьмём натуральный логарифм от функции максимального правдоподобия:

б) Выведем уравнения правдоподобия для нахождения q1 и q2.

Для этого нужно найти: при каких q1 и q2 функция максимального правдоподобия ln(L(y,q)) достигает своего максимума, следовательно, производные этой функции по q1 и q2 равны нулю. Из этих соотношений находим наши параметры распределения:

в) По этим формулам с помощью пакета Mathcad находим наши параметры распределения:

n=10

n=100

q1

0.21699

0.21239

q2

0.08085

0.09303

8)         Для логнормального закона распределения запишем соотношения, связывающие математическое ожидание и дисперсию с параметрами q1и q2

9)         По формулам пункта 8 (где q1 и q2 берётся из пункта 7) с помощью пакета Mathcad находим наши оценки:

n=10

n=100

M[q1,q2]

1.2464

1.24199

D[q1,q2]

0.01019

0.01341

10)       Значения оценок математического ожидания в пунктах 5 и 9 практически одинаковы. Эти оценки несмещённые и состоятельные.

Значение оценок дисперсии в пунктах 5 и 9 не равны. Они обе состоятельные, но оценка, посчитанная в пункте 9, имеет значительное смещение при выборке малого объёма. При увеличении объёма выборки смещение уменьшается. Из этого следует, что эта оценка асимптотически несмещённая.

Оценки, рассчитанные по формулам пункта 5 асимптотически эффективны. Эффективность оценок рассчитанных по методу максимального правдоподобия больше, поэтому эти оценки эффективны.

Похожие материалы

Информация о работе