Исследование бруса, нагруженного внешними моментами и осевыми силами

Задание.

Задан брус, нагруженный внешними моментами и осевыми силами, как указано на рис. 1.1

Рисунок 1.1

Требуется:

1.  раскрыть статическую неопределимость бруса;

2.  определить внутренние силовые факторы, напряжения и перемещения;

3.  исследовать напряженное состояние в опасных точках и оценить прочность по гипотезе наибольших касательных напряжений, приняв [σ] = 120 МПа.

Дано:                     

m = 1,1  ;

M₂ = 0,35  kH·м;          

F₁ = 90 kH;                                   

d₁ = 0,032 м;

d₂ = 0,037 м;

d₃ = 0,042 м;

l = 0,5 м;

E = 2·10⁵ MПа;            

G = 8·10⁴MПа.                                                                                                    

Решение.

Находим геометрические характеристики поперечных сечений.

Моменты инерции:

J_p = 0,1·(d)⁴:

J_p1 = J_p4 = 0,1·(0,042)⁴ = 3,11·10^-7  (м⁴);

J_p2 = 0,1·(0,032)⁴ = 1,05·10^-7  (м⁴) ;

          J_p3 = 0,1·(0,037)⁴ = 1,87·10^-7  (м⁴).        

Моменты сопротивления:

W_p = 0,2·(d)³;

W_p1 =  W_p4 = 0,2*(0,042)³ = 1,48·10^-5 (м³) ;

W_p2 = 0,2·(0,032)³ = 6,55·10^-6 (м³) ;

W_p3 = 0,2·(0,037)³ = 1,01·10^-5 (м³) ;

Площади поперечных сечений:

A = ;

A₁ = A₄ = = 1,38·10^-3  (м²) ;

A₂ = = 8,04·10^-4  (м²) ;

A₃ =   = 1,07·10^-3  (м²) ;

Задача статически неопределима один раз.

Раскрытие статической неопределимости.

Кручение. Отбросим левую опору и заменим ее реактивным моментом M_A (см. рис. 1.2)

Р

Рисунок 1.2.

         Составим уравнение совместности деформаций, приравняв к нулю перемещение левого конца вала:

                       φ_А = Δφ₁ + Δφ₂ +  Δφ₃ +  Δφ₄ = 0;

        φ_A = + + + = 0.

      Составим выражения для крутящих моментов:

T_k1 = – M_A;

T_k2 = ­– M_A + m·(z₂ –l) ;

T_k3 = – M_A + m·l;

T_k4 = – M_A + m·l – M ₂ .

 

Тогда уравнение совместимости деформаций для левого конца вала примет вид:

 φ_А =  +  + +   = 0

– – + – + –  +  –  =0

Разделим получившееся выражение на l и умножим на G:

– – +  –   +  –  +  –  =0;

Подставим  найденные значения в получившееся выражение и найдем М_А:

– – +  –   +  –  +  –  =0;

– 2,13·10⁷·М_А = –6,20·10⁹;

М_А = ­291 (H·м).

Отбросим правую опору и заменим ее реактивным моментом M_B (см рис. 1.3)

Рисунок 1.3.