Оценка среднего значения и дисперсии для указанных признаков. Вычисление матрицы частных коэффициентов. Проанализировать значения парного и частного коэффициентов корреляции

Страницы работы

11 страниц (Word-файл)

Содержание работы

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Кафедра управления и информатики

Типовой расчет

по курсу «Идентификация и диагностика систем»

Выполнил

Студент

Попов И. О.

Вариант

10

Группа

А – 01 – 03

Дата

23.03.06

Принял

Преподаватель

Дата

Москва 2006 г.


Постановка задачи

Восемь регуляторов проходят опытные испытания в качестве устройства управления одним и тем же технологическим процессом автоматизированного разлива стали. При этом все регуляторы имеют различные технические характеристики, реализуют отличные друг от друга законы регулирования, выпущены различными заводами-изготовителями. Их функционирование характеризуется следующими показателями:

- переругулирование (в %);

- время регулирования (в сек.);

- стоимость (в тыс. руб.).

Номер регулятора

1

29

0,6

45

2

27

0,6

52

3

23

0,4

80

4

25

0,7

55

5

26

0,6

61

6

26

0,45

70

7

24

0,5

75

8

20

0,45

85

Расчетное задание включает следующие пункты.

1)  Оценить средние значения и дисперсии для признаков ,,. Рассчитать ковариационную и корреляционную матрицы для анализируемого трехмерного признака.

2)  Вычислить матрицу частных коэффициентов, т.е. оценить значения  (i≠k, l≠i, k≠l).

3)  Проанализировать значения парного  и частного  коэффициентов корреляции. Проверить гипотезу (при уровне значимости α=0,05) о их статистической значимости.

4)  Найти точечную оценку множественного коэффициента корреляции   и проверить гипотезу (при уровне значимости α=0,05) о его статистической значимости.

5)  Рассчитать коэффициенты парной регрессии и проверить значимость полученного уравнения (при уровне значимости α=0,05).

;

6)  Вывести уравнения для вычисления главных компонент ,,по заданным значениям исходных показателей  ,, (для вычисления корней полинома третьей степени рекомендуется использовать пакет прикладных программ (ППП) MATLAB).

7)  Определить относительные доли суммарной дисперсии, обусловленные одной и двумя главными компонентами.

8)  Проверить проведенные расчеты с помощью ППП STATISTICA.

9)  Провести дополнительные исследования заданной выборки с помощью ППП STATISTICA, используя

-  иерархический кластерный анализ;

-  многомерное шкалирование.


Решение

1)  Оценим средние значения и дисперсии для признаков ,,:

Рассчитаем ковариационную матрицу для анализируемого трехмерного признака:

И корреляционную:

2)  Оценим значения частных коэффициентов корреляции ,  и :

3)  Парный коэффициент корреляции  характеризует наличие линейной зависимости между переменными  и  и силу взаимосвязи между ними. Значение  = -0.897 говорит о возможном наличии обратно-пропорциональной зависимости между исследуемыми признаками. Проверим гипотезу о его статистической значимости (при уровне значимости α=0,05):

Т.к. , то гипотеза  отклоняется, и, следовательно, коэффициент  значимый.

Частный коэффициент корреляции  характеризует линейную взаимосвязь между переменными  и  и силу этой взаимосвязи при фиксированном значении . Значение  = -0.937 говорит о наличии взаимосвязи между переменными  и . Проверим гипотезу о его статистической значимости (при уровне значимости α=0,05):

Т.к. , то гипотеза  отклоняется, и, следовательно, коэффициент  значимый.

4)  Найдем точечную оценку множественного коэффициента корреляции  :

 и проверим гипотезу (при уровне значимости α=0,05) о его статистической значимости:

Т.к. , то гипотеза  отклоняется, и, следовательно, коэффициент  значимый.

5)  Рассчитаем коэффициенты парной регрессии:

и проверим значимость полученного уравнения  (при уровне значимости α=0,05):

Т.к. , то гипотеза  отклоняется, и, следовательно, регрессия значима.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Значение близко к 1, следовательно, связь  и  действительно существует.

6)  Выведем уравнения для вычисления главных компонент ,,по заданным значениям исходных показателей  ,,:

где  - собственные числа корреляционной матрицы R, а  - соответствующие им собственные вектора.

Главные компоненты могут быть найдены по формулам:

7)  Определим относительные доли суммарной дисперсии, обусловленные одной главной компонентой:

и двумя главными компонентами:

Т.о. 84% суммарной дисперсии обусловлено главной компонентой , а  и  обуславливают 99% суммарной дисперсии.


Проверка проведенных расчетов с помощью ППП STATISTICA

Средние значения для признаков:

Mean

x1

25,00000

x2

0,53750

x3

65,37500

Совпадают с рассчитанными ранее.

Ковариационная матрица

x1

x1

x1

x1

7,4286

0,15714

-35,0000

x2

0,1571

0,01054

-1,2232

x3

-35,0000

-1,22321

204,8393

Дисперсии признаков и элементы ковариационной матрицы совпадают с рассчитанными ранее.

Корреляционная матрица (отмеченные коэффициенты значимы при α=0,05)

x1

x2

x3

x1

1,00

0,56

-0,90

x2

0,56

1,00

-0,83

x3

-0,90

-0,83

1,00

Элементы корреляционной матрицы совпадают с рассчитанными ранее. Парный коэффициент корреляции  значимый.

Частные коэффициенты корреляции (отмеченные коэффициенты значимы при α=0,05)

x2

x1

-0,76

x3

x1

-0,94

x3

x2

-0,90

Значения совпадают с рассчитанными ранее. Частный коэффициент корреляции  значимый.

Результаты множественной регрессии:

Value

Multiple R

0,98125

F(2,5)

64,80303

p

0,00027

Множественный коэффициент корреляции   значимый при α=0,05, т.к. 0,00027 < 0,05.

Для парной регрессии:

Beta

Std.Err.

B

Std.Err.

t(6)

p-level

Intercept

183,1635

23,78689

7,70019

0,000251

x1

-0,897240

0,180259

-4,7115

0,94657

-4,97751

0,002508

Коэффициенты парной регрессии совпадают с рассчитанными ранее.

Value

Multiple R?

0,80504

F(1,6)

24,77556

p

0,00251

Значение коэффициента детерминации совпадает с рассчитанным ранее

Главные компоненты:

Factor 1

Factor 2

Factor 3

x1

-0,562578

0,659193

-0,498970

x2

-0,543396

-0,749685

-0,377747

x3

0,623079

-0,058627

-0,779959

Коэффициенты, входящие в выражение для вычисления главных компонент совпадают с рассчитанными ранее.

Eigenvalue

% Total

Cumulative

Cumulative

1

2,536287

84,54290

2,536287

84,5429

2

0,440980

14,69935

2,977267

99,2422

3

0,022733

0,75776

3,000000

100,0000

Относительные доли суммарной дисперсии совпадают с рассчитанными ранее.


Дополнительные исследования заданной выборки с помощью ППП STATISTICA

Иерархический кластерный анализ:

Матрица расстояний имеет вид (Евклидово расстояние, одиночная связь):

Var1

Var2

Var3

Var4

Var5

Var6

Var7

Var8

Var1

0,00000

7,28011

35,51113

10,77079

16,27882

25,17980

30,41398

41,00027

Var2

7,28011

0,00000

28,28498

3,60694

9,05539

18,02838

23,19504

33,73459

Var3

35,51113

28,28498

0,00000

25,08167

19,23642

10,44043

5,10000

5,83117

Var4

10,77079

3,60694

25,08167

0,00000

6,08358

15,03537

20,02598

30,41484

Var5

16,27882

9,05539

19,23642

6,08358

0,00000

9,00125

14,14249

24,73909

Var6

25,17980

18,02838

10,44043

15,03537

9,00125

0,00000

5,38540

16,15549

Var7

30,41398

23,19504

5,10000

20,02598

14,14249

5,38540

0,00000

10,77045

Var8

41,00027

33,73459

5,83117

30,41484

24,73909

16,15549

10,77045

0,00000

Дендрограмма для этого случая:

Можно выделить два кластера:  и .

Многомерное шкалирование:

Проекция на плоскость имеет вид:

Подтверждается результат иерархического кластерного анализа об одном кластере:  и .

Похожие материалы

Информация о работе