С помощью формул, таблиц и графика. Заметим, что когда функция задаётся аналитически, областью определения функции считается значение множества при которых эта формула имеет смысл.
y= f(x), x принадл. д(f) называется множество {(x, f(x)): x содер. д(f)}
24 определение придела функции по Коши.
Пусть f определено в некоторой окрестности т.а, кроме, быть может, самой точной а числа А наз. Пределом f в т.а (или при х вып. а), если для любого ε>0 сущ бε>0 : любой x принадл. д{f}:0<Ix-aI<бε выполняет If(х)-АI< ε при этом пишут limf(x)=A или f(х) вып. А при х вып. а
(придел f по гейне)
f определена в некоторой окрестности т.а кроме быть может т.а число А наз. Пределом f в т.а (или при х стрем. а), если ¥{Xn} : Xn € д(f), Xn≠a ¥n€N и linXn=a выполн. Limf(Xn)=A или {f(Xn)} стрем. A при n стрем. ∞
предел по гейне и по коши равносильны.
Док-во. ¥{Xn}: limXn=a (при n стрем. ∞) стрем. f(Xn) стрем. А, n стрем. ∞ пусть {Xn}:Xn≠a, limXn=a тогда сущ.Nбε выполн. 0<|Xn-a|<бε => |f(Xn)-A|<ε limf(Xn)=A при n стрем. ∞ доказано.
Limf(X)=A <=> ¥ε>0 сущ.бε>0:¥x€E (множество значений) : при х стрем. а, x€E :
0<|x-a|<бε выполн. |f(x)-A|<ε
Односторонние, бесконечные приделы и предел в бесконечности.
Пусть функция y=f(x) опред. На множестве (а-б0,а) (б0>0) число А наз. Пределом функции f в т.а слева (или при х стрем. а слева) если ¥ε>0 сущ.бε>0:¥x€(а-б0,а) выполн.|f(x)-A|<ε при этом пишут limf(x)=A (x стрем. а-0)
Пусть функция y=f(x) опред. На множестве (а-б0,а) (б0<0) число А наз. Пределом функции f в т.а справа (или при х стрем. а слева) если ¥ε>0 сущ.бε>0:¥x€(а+б0,а) выполн.|f(x)-A|<ε при этом пишут limf(x)=A (x стрем. а+0)
Для того, чтобы функция f имела предел в т.а необходимо, чтобы она имела в этой точке пределы справа и слева и они были равны.
Определения f по гейне справа.
Пусть функция y=f(x) опред. в (а-б0,а) (б0<0) число А наз. Пределом функции f справа в т.а если ¥{Xn}, Xn≠a, Xn>a и limXn=a выполн. Limf(Xn)=A (при n- стрем. ∞)
Бесконечные пределы
Limf(x)=∞ (при х стрем. а) если ¥ε>0 сущ.бε>0:¥x:0<|x-a|<бε выполн. |f(x)|>ε
Пределы в бесконечности
Limf(x)=А (при х стрем. ∞) если ¥ε>0 сущ.бε>0:¥x:|x|>бε выполн. |f(x)-A|<ε
Свойство пределов функций, связанные с неравенствами и арифметическими операциями.
еслиlimf(x)=A (x стрем. а), то сущ.Uб(а) такая, что ограничена на Uб(а) (f огран. На множестве M содерж. Д(f)) если сущ. С:¥x€M выполн. |f(x)|≤C)
док-во. ¥ε=1>0 сущ.б>0:¥x:0<|x-a|<б выполн. |f(x)-A|<1 или A-1<f(x)<A+1 ¥x€Uб1(а) с=max{|A-1|,|A+1|} доказано.
Если limf(x)=A и A≠0, то сущ.Uб(а):f сохран. Знак числа А в Uб(a) т.е. ¥х€Uб(а)
f(x)>0, A>0
выполн. {
f(x)<0, A<0
пусть сущ.Uб(а):g(x)≤f(x)≤h(x) ¥x€Uб(а) и limg(x)=limh(x)=A тогда limf(x)=A (всё при х стрем. а)
док-во. Пусть {Xn} произвол. Послед. :Xn≠a limXn=a (при n стрем. ∞) сущ.N0:¥n≥N0 Xn€Uб(а) тогда g(Xn)≤f(Xn)≤h(Xn) ¥n≥N0 тогда по теореме милиционеров и по теореме гейне limg(x)=limh(x)=limf(x)=A (при n стрем. ∞)
пусть сущ.Uб(а):g(x)≤h(x) ¥x€Uб(а) и limg(x)=A, limh(x)=B (при х стрем. а) => A≤B
пусть limf(x)=A и limg(x)=В (при х стрем. а) 1) lim(f(x)±g(x))=A±B 2) lim(f(x)*g(x))=A*B 3)limf(x)/g(x)=A/B (B≠0)
пределы монотонных последоват.
Функция y=f(x), x€X назыв. Возраст. На Mсод.Х, если ¥Х1Х2€M: Х1<Х2 выполн. f(Х1) сод. f(Х2) (f(Х1)> f(Х2))
Точная верхняя грань
Точной верхней гранью (точной нижней) функция f на множестве M. M сод. д(f) назыв. Точной верхняя (нижняя) грань множество значения этой функции на множестве М. обозначается supf(x) inff(x) таким образом supf(x)=A если 1) ¥x€M вып. f(x)≤A
2) ¥ε>0 сущ.Хε€М:f(Xε)>A-ε
Таким образом inff(x)=A если 1) ¥x€M вып. f(x)≥A 2) ¥ε>0 сущ.Хε€М:f(Xε)>A+ε
Если f определена и монотонна на [a,b] то ¥т.X0€(a,b) сущ.limf(x) (при х стрем. X0±0 )
Критерии коши предел функции.
Будем считать, что y=f(x) удовл. Условие коши в т.а если ¥ε>0 сущ.бε>0:¥ Х1Х2:| Х1-a|<бε и| Х2-a|< бε выполн. |f(x1)-f(x2)|>ε
Для того, чтобы f имела limf=A <=> чтобы она удавлетв. В этой т.А услов. Коши.
Понятия непрерывности функции и эквивалентные определения.
формальное опред. Непрер. f в точке.
Пусть f опред. В некоторой окрестн. т.а f наз. Непрерывной в т.а, если limf(x)=f(a) (при х стрем. а)
По коши
Пусть f определена в нек-й окрес. т.а f наз. Непрерывной в т.а, если
¥ε>0 сущ.бε>0:|x-a|<бε выполн. |f(x)-f(a)|<ε
Окрестное
Пусть f опред. В некоторой окрестн. т.а f наз. Непрерывной в т.а, если ¥ε>0 сущ.бε>0:¥x€Uбε(a) выполн. f(x)€ ε(f(a))
По гейне
Пусть f опред. В некоторой окрестн. т.а f наз. Непрерывной в т.а, если ¥{Xn}:limXn=a выполн. limf(Xn)=f(a) (при Х стрем. ∞)
Обозначим х-а=▲х и наз. Приращение аргумента Х в т.а : f(x)-f(a)= ▲f=▲y (y=f(x)) и наз. Приращением ▲Х аргументам Х=а+▲Х ▲y=▲f=f(a+▲X)-f(a) тогда ▲f=▲y при измен. ▲Х также будет изменяться т.е. будет f(▲X)
Пусть f опред. в (a-б,а] (б>0) f наз. Непрерывной в т.а слева, если limf(x)=f(a) (при х стрем. а-0)
Пусть f опред. в (а, a+б] (б>0) f наз. Непрерывной в т.а справа, если limf(x)=f(a) (при х стрем. а+0)
Точка разрыва функции и их классификация с примерами.
т.а назыв. Точкой разрыва функции f если 1) a не пренадл. Д(f) то есть f не опред. в т.а
2)не сущ. limf(x) (при х стрем. а) 3) limf(x)≠f(a) (при х стрем. а)
Если а – точка разрыва f то её наз. Точкой разрыва первого рода если сущ. некоторое limf(x) (при х стрем. а+0) и limf(x) (при х стрем. а-0)
Если f(a+0)-f(a-0) наз. Скачком функции в т.а
Если а точка разрыва f то её наз. Точкой разрыва второго рода, если один из пределов f(a+0),f(a-0) не сущ. или ∞
Если а – точка разрыва первого рода и f(a+0)=f(a+0), то точка а – наз. Точкой устранимого разрыва. В этом случае можно рассмотреть {f(x),x≠a
f(x)=
{A, x=a
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.