Рівняння математичної фізики: Навчальний посібник, страница 8

                                    (6.2)       

Тоді для відшукання функції W(x,t) вимагається вирішити задачу

       (6.3)

Остання задача вже достатньо знайома і розв'язується методом Фур’є. Залишилося вирішити задачу (6.2). Після інтегрування рівняння вийде

Постійні С1 і С2 знаходяться з крайових умов.

Приклад 1.  Вирішити рівняння

за нульових початкових і крайових умов   Рішення розшукується у вигляді суми   Потім слід цю суму підставити в рівняння

і підібрати функцію  так, щоб і Рівняння      інтегрується двічі:

З крайових умов     визначаються   

Значит,

Функція W(x,t)- є рішення наступної задачі:

 

 

Подібні задачі розглядалися в розд. 3, тому можна відразу записати рішення:

де

        

Залишається обчислити

Відповідь:

 Задачі для самостійного розв’язування

1. Застосуйте правило 4 до рішення задачі 5 розд. 4.

2.Сформулюйте правило 4 для випадку гармонійних зовнішніх сил (задачі 1, 2 і 4 розд. 4).


7. ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ  ФУРЬЕ ДЛЯ ДВУМЕНРНОЙ ЗАДАЧІ ПРО КОЛИВАННЯ МЕМБРАНИ

Метод Фур’є з успіхом застосовується при дослідженні коливань прямокутної мембрани.

Приклад. Однорідна квадратна мембрана, що має в  початковий момент часу t = 0 форму , де А – постійна, почала коливатися без початкової швидкості. Дослідити вільні коливання мембрани, закріпленої по контуру х = 0, х = l, у = 0, у = l.

Рівняння вільних коливань мембрани має вигляд

                                        (7.1)

Тут  u =  u (x, у, t) – відхилення точок мембрани від площини ХОY у момент t. Умова закріплення мембрани по краях запишеться таким чином:

 u|x=0 = u|x=l  = u| y=0 = u |y=l                                              (7.2)

Початкові умови

U|t=0 = Aху(l – x) (l – у);                                 (7.3)

Шукаємо рішення даної задачі у вигляді

u(x, у, t)= T(t) X(x) У(у).

Підставимо функцію  u(x, у, t ) в рівняння і розділимо змінні

Хай

.

Для задачі                   

х"+l2х = 0,  х(0)= 0, х(l) = 0,

отримаємо власні значення

,                                         (7.4)

власні функції

 ,  k=1,2,...                        (7.5)

Для задачі

y" + m2y = 0,  y(0) = 0,  y(l) = 0

отримаємо     

Переходимо до відшукання функції Т(t): рівняння

Т + а2(l 2+m2)Т=0

маємо рішення

З умови   виходить, що Т'(0)=0. Обчислюємо

Підставляючи t = 0, отримаємо Аkn=0. Отже

.

Тоді

Застосовуючи умову u|t=0  =  Axy(l–x)∙(l–y), отримаємо

Справа отримали подвійний ряд Фур’е. Значить,  коефіцієнти ряду Фур’е для заданого початкового відхилення дорівнюють

.

Переходячи від подвійного інтеграла до повторного, отримаємо

Відповідь:

Задачі для самостійного розв’язування

1. Знайти закон вільних коливань квадратної мембрани із стороною l, якщо в початковий момент мембрані додана швидкість    (де а - постійна, що фігурує в рівнянні мембрани). Початкове відхилення дорівнює нулю. Мембрана закріплена в точках свого контуру.

Відповідь:

2. Знайти закон вільних коливань квадратної мембрани із стороною l, якщо в початковий момент відхилення в кожній точці визначалося рівністю

Початкова швидкість дорівнює нулю. Уздовж контуру мембрана закріплена.

Відповідь:             .


8. МЕТОД ФУР’Є ДЛЯ ОДНОРІДНОГО РІВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ

1. Початкові і граничні умови. Розподіл температури в стрижні описується наступним рівнянням (рівняння теплопровідності)

                                                                        (8.1)

де f(x,t) – потужність внутрішніх джерел в стрижні, розрахована на одиницю маси, c – коефіцієнт питомої теплоємності.

В початковий момент часу t = 0 розподіл температури вважається відомим

u(x,0)= j(x)                                                (8.2)

При стрижні кінцевих розмірів задаються умови на його кінцях (граничні умови). Можливі наступні типи граничних умов:

a) на кінцях підтримується задана температура (заданий тепловий режим):

u(0,t)= g1(t),      u(l,t) = g2(t)

б) на кінцях стрижня задана величина теплового потоку q

q|x=0 = f1(t), q|x=l = f2(t).

(Усюди нижче величина q позначає потік, направлений з тіла в зовнішнє середовище). Оскільки потік пропорційний  і на кінцях направлений в різні боки, то

                       (8.3)

Тому граничні умови мають вигляд

ux(0,t)= q1(t), ux(l,t) = q2(t)

де                                       q1(t)=k-1f1(t),  q2(t)=k-1f2(t)

в) на кінцях відбувається теплообмін з середовищем. Хай q(t) – температура зовнішнього середовища. Припускаємо, що теплообмін відбувається за законом Ньютона.

Закон Ньютона. Величина теплового потоку через межу тіла пропорційна різниці температур тіла і зовнішнього середовища:

q| через межу = l [u (s,t) - q (t)]

 де  u(s,t) – температура тіла на  межі, а q (t) – температура середовища.

Зокрема, для стрижня

q|x=0= l [u (0,t) - q (t)], q|x=l = l [u (l,t) - q (t)]

або згідно (8.3)

ux(0,t) – hu(0,t)=q1(t)

ux(l,t) - hu (l,t) = q2(t)

де                         .

г) кінці стрижня теплоізольовані. Це означає, що на кінцях  відсутній тепловий потік. Тому крайові умови матимуть вигляд

ux(0,t)=0,      ux(l,t)=0.

2. Метод Фурє для однорідної задачі.  Розглянемо розповсюдження тепла в стрижні кінцевої довжини, коли на його кінцях підтримується нульова температура. Джерела тепла в стрижні відсутні, початкова  температура в кожній точці стрижня задана. Температура  u(x,t) стрижня є рішення задачі.

                                             (8.4)

Шукаємо спочатку нетривіальні рішення рівняння, що задовольняють крайовим умовам, у вигляді

U(x,t)=X(x)T(t).

Слідуючи знайомій схемі, отримаємо

Власні значення  власні функції  .

Кожному власному значенню lк відповідає функція Тk(t), що задовольняє рівнянню першого порядку:

Загальне рішення цього рівняння має вигляд

Значить, приватні рішення однорідного рівняння теплопровідності, що задовольняють однорідним граничним умовам, представляються у вигляді: