Рівняння математичної фізики: Навчальний посібник, страница 5

      

Відповідь: 

6. Знайти закон коливання струни завдовжки l, розташованої на відрізку [0,], якщо в початковий момент їй надали форму кривої     а потім відпустили без початкової швидкості. Струна закріплена на кінцях. Зовнішні сили відсутні.

Відповідь:

7. Знайти закон коливання струни завдовжки l, якщо в початковий момент всі точки струни повідомлена швидкість, рівна  (де а – постійна, фігуруюча в рівнянні струни). Початкове відхилення відсутнє. Кінці струни закріплені. Зовнішні сили відсутні

Відповідь:

8. Однорідна струна завдовжки l, закріплена на обох кінцях, знаходиться в прямолінійному положенні рівноваги. В деякий момент часу, що приймається за початковий, вона одержує в точці х = с удар від молоточка, який повідомляє цій точці постійну швидкість 0. Знайти відхилення   струні для будь-якого моменту часу.

Розглянути два випадки.

а) Струна збуджується початковою швидкістю

Цей випадок відповідає плоскому жорсткому молоточку, що має ширину  і ударяє в точці х = с.

б) Струна збуджується початковою швидкістю

Цей випадок відповідає жорсткому опуклому молоточку вширшки . Такий молоточок в центрі інтервалу порушує найбільшу швидкість.

Відповідь: 

а) 

б)

9. Вирішити першу змішану задачу для однорідного хвильового рівняння на відрізку

а). utt = xxx,    x Î (0,2),   t Î (0,¥)

u(x,0) = 0,    ut(x,0) = x(2 – x),    u(0,t) = u(2,t) = 0

б). utt = 2uxx,    x Î (0,1),   t Î (0,¥)

u(x,0) = 0,    ut(x,0) = x(1 – x),    u(0,t) = u(1,t) = 0

в). utt = 3uxx,    x Î (0,3),   t Î (0,¥),

u(x,0) = 0,    ut(x,0) = x(3 – x),    u(0,t) = u(3,t) = 0,

г).  utt = 4uxx,    x Î (0,2),   t Î (0,¥)

u(x,0) = 0,    ut(x,0) = x(2 – x),    u(0,t) = u(2,t) = 0,

д). utt = uxx,    x Î (0,2),   t Î (0,¥)

u(x,0) = 0,    ut(x,0) = x(1 – x),    u(0,t) = u(1,t) = 0,

е). ,    x Î (0,4),   t Î (0,¥)

u(x,0) = 0,    ut(x,0) = x(4 – x),    u(0,t) = u(4,t) = 0,

ж). ,    x Î (0,3),   t Î (0,¥)

u(x,0) = 0,    ut(x,0) = x(3 – x),    u(0,t) = u(3,t) = 0,

з).  utt =9 uxx,    x Î (0,2),   t Î (0,¥)

u(x,0) = 0,    ut(x,0) = x(2 – x),    u(0,t) = u(2,t) = 0,

и).  utt = 16uxx,    x Î (0,2),   t Î (0,¥)

u(x,0) = 0,    ut(x,0) = x(2 – x),    u(0,t) = u(2,t) = 0,

к). utt = uxx,    x Î (0,3),   t Î (0,¥)

u(x,0) = 0,    ut(x,0) = x(3 – x),    u(0,t) = u(3,t) = 0,

Відповідь:

а). .

б).

в).

г).

д).

е).

ж).

з).

и).

к).


4. РІШЕННЯ НЕОДНОРІДНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ РІВНЯННЯ коливань

Метод відокремлення змінних дозволяє також знайти рішення неоднорідного рівняння коливань. Малі поперечні коливання пружної струни описуються рівнянням

                                    (4.1)

Функція  визначає відхилення u точки струни у момент часу t. Графік функції  при кожному фіксованому значенні t представляє форму струни, що коливається, у цей момент часу. Функція  густина зовнішніх сил, розрахованих на одиницю маси струни,  позитивна постійна (Т – натягнення струни r - густина її). В початковий момент часу t=0 передбачаються відомими положення струни і її швидкість:

                         (4.2)

Якщо струна має кінцеві розміри , то потрібна додаткова інформація про поведінку рішення  на кінцях , .

Можливі наступні типи крайових умов:

а) струна закріплена на кінцях:

                                     (4.3)

б) струна не закріплена на кінцях і відомий закон руху кінців:

                               (4.4)

У такому разі прийнято говорити, що заданий режим на кінцях;

в) кінці струни не закріплені і відомі сили G1(t), G2(t), діючі на кінцях. Тоді за законом Гука

                         (4.5)

г) кінці струни закріплені пружно:

                       (4.6)

де h1, h2 – постоянные  

д) кінці струни вільні (під цим розуміється їх вільне поперечне переміщення):

                                 (4.7)

Необхідно помітити, що умови (4.7) є окремим випадком умов (4.6), виходячи з них при  . Умови (4.7) можна пояснити геометрично: для вільного кінця, наприклад   дотична до графіка функція  паралель осі x у будь-який момент часу t, тобто  Якщо зовнішні сили відсутні, то в правій частині рівняння (4.1) функція  і замість неоднорідного рівняння виходить однорідне (замість вимушених коливань – вільні).

Крайові умови типу (4.3) і (4.7) називають однорідними, а умови типу (4.4), (4.5) і (4.6) – неоднорідними. Початкові умови (4.2) також в окремому випадку  називаються однорідними. Очевидно, всяка неоднорідність ускладнює рішення задачі. Проте, будь-яка неоднорідна задача може бути вирішена у декілька етапів.

Для розгляду виберемо задачу про вимушені коливання струни із заданим режимом на кінцях:

                                  (4.8)

Перший етап. Перш за все слід позбутися неоднорідності в крайових умовах. Для цього необхідно підібрати допоміжну функцію р(x,t), що задовольняє заданим крайовим умовам. Звичайно р(x,t) беруть у вигляді лінійної по x функції:

                           (4.9)

Можна скористатися рівнянням прямої, що проходить через точки  і . Для функції (4.9) граничні умови, очевидно, виконуються. Тепер вводиться нова невідома функція  інакше проводиться заміна . Перерахунок других похідних дає:

    оскільки

Початкові умови приймають вигляд

Отже, нова функція  є рішенням наступної задачі

                    (4.10)

Другий етап полягає в розбитті даної задачі на дві більш прості задачі. Покладемо  де  і   служать рішеннями наступних задач

  а)  однорідне рівняння, однорідні краєві умови, неоднорідні початкові умови:

                              (4.11)

 

б)  неоднорідне рівняння, нульові початкові і краєві умови:

                                            (4.12)

        

Якщо задачі (4.11) і (4.12) буде вирішений, то, очевидно, сума  буде рішенням задачі (4.10). Задача (4.11) розв'язується методом Фур’є:

            (4.13)