Рівняння математичної фізики: Навчальний посібник, страница 10

Ліва частина не залежить від x, а права – від t. Рівність можливо лише у тому випадку, коли ці частини постійні

Підставляючи X(x) і T(t) в w(t,x), отримаємо

Оскільки T(t) ≠ 0, бо було б w(x,t) º 0, то знаходячи похідну х, одержуємо

Поставляючи сюди х = 0 і х = , маємо

звідки В = 0

,

звідки                   sinl =0,      ln=pn;   n = 0, 1, 2..,

х º 0  и w º 0

Таким чином, Хn(х)= А cos p nx.  Враховуючи ln, запишемо  

Таким чином, власні функції задачі Штурма-Ліувілля знайдені

і рішення нашого рівняння запишеться у вигляді

Тут Dn=CnА. Залишилося задовольнити початковим умовам:

w(x,0)= f(x) – v(x)= - 5,

w(x,0)= -5 =.

Розкладаючи Р(х) = -5 на відрізку 0,1  в ряд по косинусах (тобто продовжуючи її парним чином), маємо

де            

таким чином, Dn=an=0 для n³ 1, і рішення має вид  w(x, t)=D0e оскільки .

Таким чином, рішенням початкової задачі є функція

u(x,t)=v(x)+w(x,t)=

Перевірка:

ut=5b2;    uxx = 0;     -b2u= -b2+5b2

ut=a2uxx - b2u + b2;

5b2= 0 – 5 b2(1-5) + b2,

тобто рішення знайдено вірно, ця функція задовольняє також початковим і крайовим умовам.

Задачі для самостійного розв’язування

1. Знайти рішення рівняння, яке задовольняє умовам u(0,t)= u(l, t) = 0, t > 0

Відповідь:

2. Даний тонкий однорідний ізольований стрижень завдовжки  l, початкова температура якого . Кінці стрижня підтримуються при температурі, рівній нулю. Визначити температуру стрижня у момент часу t > 0.

     Відповідь: 

3. Даний тонкий однорідний стрижень завдовжки l, бічна поверхня якого теплоізольована. Початкова температура стрижня відома. На обох кінцях стрижня (х = 0 і х =l) відбувається теплообмін з навколишнім середовищем, температура якого вважається рівною нулю. Визначити температуру стрижня у момент часу  t > 0.

Відповідь:        

де ;

m1, m2, m3….   позитивні корені рівняння

Вказівка. Крайові умови:

.

4. Вирішити задачу про охолодження однорідного стрижня з теплоізолйованою бічною поверхнею, якщо його початкова температура  u(x,0)=j(x).

Один кінець теплоізолйований, а інший підтримується при постійній температурі u0.

Відповідь:

Вказівка. Задача приводиться до інтегрування рівняння  за умов  Рішення слід шукати у вигляді u(x,t)=u0+v(x,t), де v(x,t) - невідома функція.

5.  Знайти стаціонарне розподілення температури всередині нескінченного циліндру радіусу , якщо на лівій половині поверхні циліндру (0≤φ<π) підтримується температура –Т, а на правій половині (-π≤φ<0) – температура Т. Вирахувати температуру в точці

Відповідь:

Зокрема, в точці  отримуємо

6.  Всередині нескінченного колового циліндра радіусу l відбувається рух нестискаємої  рідини. Вважаючи рух установленим, потенційним і плоскопаралельним, знайти закон руху, якщо проекція швидкості  на зовнішню нормаль циліндра в кожній точці на поверхні циліндра задається формулою:

проекція  на

Відповідь:

             

7.  Знайти закон охолодження нескінченного  циліндра радіусу l, якщо в початковий момент температура всіх його внутрішніх точок дорівнює А  , а на його поверхні підтримується постійна температура 0°. Знайти перший член розкладу в ряд.

Відповідь:

Зокрема, перший член ряду

8. Знайти функцію , гармонічну всередині кола радіусу R з центром на початку координат і таку , що:

1)   2)    3)

Відповідь:

1) Ar cosj + C; 2) ; 3) .

9.  Знайти стаціонарне розподілення температури  всередині нескінченного циліндра радіусу R, якщо на його поверхні підтримується температура

Відповідь:  .

10.Знайти функцію, гармонічну в колі 1<r<2 і таку, що   

1)          

2)           

Відповідь:

 1) ;  2) .

11. Дослідити радіальний розподіл теплоти в нескінченному круговому циліндрі радіуса , бічна поверхня якого підтримується при сталій температурі . Початкова температура всередині циліндра дорівнює нулю.

Відповідь :

.

12. Початкова температура тонкого однорідного стрижня довжиною  дорівнює нулю. На кінці  температура підвищується з часом . На кінці  підтримується нульова температура. Знайти розподіл температури вздовж стрижня .

Відповідь :

13. Знайти розподілення температури в стрижні, кінці якого підтримуються при заданих температурах, :

, , .

Початкова температура .

Відповідь :

.

14. Знайти розв¢язок  одномірного хвильового рівняння    при 0<x<, t>0,

Який дозволяє крайові

      при t>0

І початкові умови

Відповідь:

15. Знайти рішення   одномірного рівняння теплопровідності

  при 0<x<, t>0,

Який задовольняє крайові

  при >0

І початкову умови

  при 0<x<l.

Відповідь:

 k=1,2,…

16. Знайти розв¢язок   одномірного рівняння теплопровідності

   при 0<x<, t>0,

Який задовольняє крайові умови

   при t>0

І початкову умову

  при 0<x<l.

Відповідь:

17. Визначити стаціонарний розподіл температури всередині твердого тіла, яке має форму обмеженого циліндра, якщо до нижньої основи z=0  підведено сталий теповий потік q, бічна поверхня і верхня основа   підтримуються при нульовій температурі.

Відповідь:    

9. Метод Фур’є для рівняння Лапласа

Застосування методу Фур’є для рівнянь еліптичного типу розглянемо на конкретних прикладах.

Приклад 1. Знайти рішення рівняння Лапласа

в прямокутнику D: 0 £  x  £ а, 0 £  у  £ b, на контурі приймаючи задані значення:

Шукаємо рішення у вигляді

u(x,y)= u1(x,y)+ u2(x,y),

де функція u1(x,y) є рішення задачі

а функція u2(x,y) – рішення задачі

Звертаємо увагу на те, що для функції u1(x,y)  однорідними є крайові умови по х, а для функції u2(x,y) однорідними є крайові умови по у.

Шукаємо функцію u1(x,y) у вигляді

u1(x,y)= X(x) У(y)

Після підставки в рівняння і розділення змінних одержуємо

Для функції Х(х) одержуємо задачу Штурма-Ліувілля: знайти нетривіальні рішення крайової задачі

і значення l, при яких ці рішення існують. Одержуємо

Для визначення функцій Yk(y), відповідних власним значенням  lk, маємо рівняння